二维向量丛的Brill-Noether理论

【摘要】： 在紧黎曼曲面的研究中,需要讨论紧黎曼曲面到复射影空间甚至到复Grassmann流形的嵌入问题。这种嵌入是通过紧黎曼曲面上全纯向量丛的截面来给出的,因此要讨论这些嵌入的存在与分类问题,就需要确定向量丛截面空间的维数以及讨论在给定截面空间维数的情况下有什么样的向量丛。有关这方面问题的研究称为向量丛的Brill-Noether理论。对于线丛,这个理论已经很完备。我们的目的就是在经典的线丛Brill-Noether理论的基础上,讨论二维向量丛的Brill-Noether理论。由于对可分解的向量丛,问题可以转化为对相关线丛的讨论,因此我们主要讨论的是不可分解的情形,并进一步归结为对由截面生成的不可分解特殊二维向量丛的讨论。在本文中,我们给出并证明了由截面生成的二维向量丛的消没定理、Clifford定理和存在定理,并部分地给出了这类二维向量丛的分类。消没定理中最低次数的寻找、Clifford定理中最小上界的确定、存在定理的条件、由截面生成的不可分解特殊二维向量丛分类的依据,这些是问题的主要难点。为此,我们以层的上同调理论、Riemann-Roch定理以及P.Griffiths和J.Harris的著名结果为主要基础,对问题进行了研究和讨论,并得到了很好的结果。我们的方法和结论可以为更高维向量丛的Brill-Noether理论的研究奠定一定的基础。