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Finsler流形的导航问题及其应用

黄利兵  
【摘要】: Riemann流形每一点处的标形是(中心在原点的)椭球面,因此在Riemann几何中,将每一点的标形作相似变换,以得到共形Riemann度量的做法是熟知的.而在Finsler几何中,每一点处的标形可以是任意的强凸超曲面,我们除了可以考虑对标形作相似变换,得到共形的Finsler度量之外,还可以考虑对标形作平移变换,这种获得新度量的过程就是导航问题.例如, Riemann度量经过导航问题,得到的是Randers度量. 由于相似和平移都是仿射变换,本文首先研究Finsler流形的切空间上的仿射几何,即利用Blaschke浸入来研究Minkowski空间的标形.通过计算其仿射不变量,明确了一些经典不变量的几何意义.例如, Matsumoto挠率恰好是仿射三次型.这就直接证明了Matsumoto-Hˉojoˉ对于三维以上Randers流形的刻画,该定理原来是用代数方法证明的.进一步,通过计算标形的平均仿射曲率,给出了任意维数Randers度量的一种新的刻画. 本文证明了Foulon的动力系统方法与传统方法的等价性.该方法可以相当有效地计算Finsler几何的旗曲率.进一步,本文拓展了该方法,使之能用于计算Finsler几何的其他几何量,如Cartan挠率、Landsberg曲率和S曲率. 运用这种方法,对于一般情形的导航问题,本文得到了旗曲率、Ricci曲率和Weyl曲率等几何量在导航过程中的变化公式,并得到了新的度量具有标量曲率的条件.随后,讨论了当平移所用的向量场为共形向量场、相似向量场时,这些公式的相应推论.作为这些公式的应用,我们容易得到常曲率的Randers度量和Funk度量等经典重要例子.此外,我们获得了Finsler流形的共形群的一些性质. 最后,本文考虑了导航问题中S曲率的变化情况,证明了在Berwald流形上用共形向量场作导航问题时,所得的新度量具有迷向S曲率.特别地,证明了李群上的双不变度量都是Berwald度量,并显式地给出了李群上左不变度量的S曲率. 通过导航问题,本文构造了一大批具有标量曲率的Finsler度量,它们都不是Randers度量,也不是射影平坦的;还构造了一些具有零S曲率的Finsler度量.


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