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《清华大学》 2010年
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求解大型非Hermite特征问题的全局Arnoldi型算法

段聪颖  
【摘要】:本文研究如何利用全局Arnoldi型方法求解大型非Hermite阵的特征问题。全局投影方法是近几年兴起的一类投影方法,已被广泛应用到多种矩阵问题,但如何求解特征值问题一直都是空白。在本文中,基于生成一组矩阵Krylov子空间的F-正交基的全局Arnoldi过程,我们提出求解大型特征问题的全局Arnoldi方法。它计算出一些F-Ritz对,并用它们作为所求特征对的近似。 全局Arnoldi方法可以计算大型非Hermite阵的“外部”特征对,但是不能很好的求解“内部”特征值问题。为此我们提出全局调和Arnoldi方法,它计算一些调和F-Ritz对,并用它们作为所求内部特征对的近似。我们建议用大型非Hermite阵关于调和F-Ritz向量的F-Rayleigh商代替调和F-Ritz值作为新的近似特征值。它们比调和F-Ritz值更好更合理。同时,为了克服全局Arnoldi方法和全局调和Arnoldi方法可能不收敛的缺陷,我们分别提出对应的精化方法。与全局Arnoldi型方法相比,全局精化Arnoldi型方法的关键不同是对确定的近似特征值,在矩阵Krylov子空间上用达到最小残量的向量分别替代F-Ritz向量和调和F-Ritz向量来逼近所求的特征向量,新向量分别称为精化F-Ritz向量和精化调和F-Ritz向量,显然他们在一般情况下更精确。 这些全局Arnoldi型方法分别继承了应用到一个特征值与原始给定矩阵特征值相同的大矩阵的标准Arnoldi型过程的收敛性。在本文中,我们建立了全局Arnoldi型方法求解重特征值问题的理论基础,展示了如何判断所求特征值的重数,并证明全局Arnoldi型方法无论在理论上还是实际中都非常适合求解重特征问题。随着迭代次数的增加,全局Arnoldi型方法在存储和计算代价上变得非常昂贵。为此我们推广了Sorensen的隐式重新启动策略,开发出相应的隐式重启的全局Arnoldi类算法并提出相应的位移策略。位移的合理选取是算法能否成功和整体性能好坏的关键之一,我们对每个全局型算法提出了相应的位移,说明了其合理性。该类算法不仅保持了原有算法的优点,而且可以更廉价的求解重特征值问题。数值算例验证了新算法的有效性和可靠性。
【学位授予单位】:清华大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:O151.21

【参考文献】
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【共引文献】
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