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《清华大学》 2011年
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一类无穷维Frobenius流形的构造

徐丁点  
【摘要】:Frobenius流形的概念是上个世纪九十年代由Boris Dubrovin在研究二维拓扑场论的几何时所引入的。它是对WDVV结合性方程的一种不依赖于坐标的描述。 在数学物理各个分支领域的应用当中,Frobenius流形在研究(1+1)-维可积系统理论,尤其是在方程簇的几何性质和分类问题中起到重要作用。无穷维Frobenius流形的概念也是由Dubrovin和他的合作者在2009年所提出来的。提出这一概念的主要动机是为了研究(2+1)-维可积系统的几何性质及其在物理中的应用。他们所构造的无穷维例子基于二维Toda方程簇的双Hamilton结构。在2010年,Andea Raimondo给出基于Kadomtsev-Petviashvili方程簇的另一个无穷维的例子。这篇论文的主要目的是构造一类无穷维Frobenius流形并对其性质进行研究。 二分量BKP方程簇是由Etsuro Date,Michio Jimbo,Masaki Kashi-wara,Tetsuji Miwa在上个世纪八十年代所引入的一类(2+1)-维可积系统。本文的构造是基于二分量BKP方程簇的双Hamilton结构。首先,我们利用R-矩阵的办法找到这一方程簇的无穷多个双Hamilton结构和它们的无色散极限。基于这些双Hamilton结构,我们在由单位圆周内部和外部的亚纯函数对所构成的空间上构造一类无穷维的Frobenius流形。这一构造过程中的主要难点在于:定义切空间上的Frobenius代数结构,即在切空间上定义一个带有不变度量的交换结合代数结构,找出平坦坐标证明度量的平坦性以及对三点函数积分得到势函数。另外,势函数的拟齐次性和流形的半单性分别由所定义的欧拉向量场和正则坐标证明。然后,我们利用双Hamilton递推关系给出完整的Principal方程簇,并说明它是无色散二分量BKP方程簇的一类扩展。 最后,我们发现所构造的无穷维流形包含一些有限维Frobenius子流形,并证明这些子流形等同于D型和B型的Coxeter群的轨道空间上定义的Frobenius流形。
【学位授予单位】:清华大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2011
【分类号】:O186.1

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