基于EEP法的一维非线性有限元自适应分析

【摘要】：常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）的数值求解对力学研究和工程计算均具有重要意义，而非线性常微分方程的数值求解更是其中的难点和热点。本文针对非线性常微分方程，提出了一套新型的自适应求解的有限元方法（FEM）。该方法通过对非线性问题进行线性化，将基于单元能量投影（Element Energy Projection，简称EEP）法的线性问题自适应求解方法直接引入非线性问题的求解，无需对非线性问题本身单独建立超收敛公式及其自适应算法，从而构成一个一般性的、统一的非线性问题自适应求解算法，进而开发了非线性ODE求解器的雏形。全文主要工作如下： 1.提出了基于弱形式的非线性有限元自适应迭代的基本策略。基于有限元弱形式推导了Newton迭代格式，提出“理想线性问题”的概念，以其为桥梁直接引入现有的线性问题自适应求解算法；将非线性迭代和自适应求解有机结合起来，提出了有限元求解非线性ODE问题的基本策略。该思路简明清晰，通用性强。 2.将基本策略成功地推广到一维C0和C1非线性问题的自适应求解，提出了相应的整套算法。数值算例表明本文算法高效、稳定、可靠，能够得到逐点满足给定误差限的FEM解，且误差分布均匀，精度冗余较小。 3.将基本策略成功地推广到非线性一阶方程组的自适应求解，提出了相应的整套算法。一阶方程组的自适应求解研究具有基础性意义，任意高于一阶的初值或边值问题的求解都可以等效地转化为一阶方程组的求解。非线性一阶方程组自适应求解的成功拓宽了本文算法的求解范围，并对非线性问题的求解形成了统一的模式。 4.对非线性边界条件、初始解选择、解路径追踪和临界点求解等关键问题给出具体处理算法。利用Newton格式，给出了对非线性边界条件进行线性化的处理方法，进一步完善求解器功能；结合ODE转化技巧，以简明直观的方式实现非线性求解中常用的延拓法；对非线性问题中的临界点求解问题，可直接精确计算出临界点的位置及其对应的解答。 大量算例表明，本文算法高效、稳定、可靠，解答可逐点以最大模度量满足用户给定的误差限，可作为先进高效的非线性ODE问题求解器的核心理论和算法。