Markov切换跳扩散过程的稳定性和数值方法分析

【摘要】：经典的扩散过程理论已被广泛地应用到金融，工程等诸多领域。然而在许多实际问题中，系统可能受到某些突发事件的影响而出现瞬时大幅度的变化，或者受外部环境变化而频繁出现系统状态的切换，经典的扩散过程通常无法很好地描述这些不可预测的突变或状态切换。近年来，不少学者开始尝试引入不同类型的随机系统来弥补这方面的不足。Markov切换跳扩散过程目前已成为一种处理上述问题非常有效的工具。由于Markov切换和跳项的引入，这无疑给问题的分析带来了新的挑战，同时，也使得对此类过程的研究具有重要的理论和现实意义。 本文主要研究了Markov切换跳扩散过程两个方面的问题。首先，就其ψγ稳定性和指数稳定性进行了深入讨论；其次，构造了求解此类过程的两类数值方法，并对这两类方法的收敛性和稳定性进行了详细分析。 本文主要的创新点如下： (1)首次将经典扩散过程中ψγ稳定的概念推广到Markov切换跳扩散过程，提出并证明了一些判定该过程ψγ稳定的定理，拓宽了研究此类问题稳定性的思路； (2)针对Markov切换可线性化跳扩散过程，本文深入研究了与其指数稳定性相关的问题，得到了一维Markov切换线性跳扩散过程p-阶矩和几乎必然指数稳定的充分必要条件，以及多维Markov切换可线性化跳扩散过程p-阶矩和几乎必然指数稳定的充分条件； (3)将求解经典带Poisson跳随机微分方程的补偿随机θ方法应用到Markov切换跳扩散过程，证明了它是强1/2阶收敛的，并针对线性检验系统给出了该方法均方指数稳定的充分必要条件； (4)本文首次提出基于补偿随机θ方法的预估-校正θ方法，证明了预估-校正θ方法是强1/2阶收敛的，并对其均方指数稳定性进行了分析。