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《清华大学》 2014年
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与波色-爱因斯坦凝聚态相关的方程组的解

岳晓蕊  
【摘要】:在过去十几年中,由于强大的物理背景,非线性薛定谔系统吸引了一大批学者的关注。其中,波色-爱因斯坦凝聚态(BEC)问题尤为突出。在科学研究中,数学和物理学家们对驻波解特别感兴趣。大量优秀的成果也接连出现。其中,有很多与数学相关的问题,具有挑战性和重要的学术价值。本文旨在利用变分法和椭圆方程的理论,研究与BEC相关的方程组,包括最小能量估计和基态解的存在性问题,也包括无穷多解、变号解的存在性,以及解的不存在性问题。首先,我们考虑空间维数N≤3的次临界BEC系统。我们构建一个抽象定理,表明如果一个泛函在某个集合中有一个临界点,那么一个“小扰动”后的泛函也会在这个集合中有一个临界点。之后,我们将这个抽象定理应用到BEC系统上,得到耦合系数大于零但充分小时,多个变号解和多个混合态的变号解以及一个正解的存在性结果。该结果推广了Chen,Lin和Zou关于变号解和半变号解的存在性结果,但我们的证明方法是完全不同的。我们同时也给出了Soave关于正解的存在性结果的另一种证明方法。在BEC系统满足一定对称性条件时,我们构造出该系统在维数N≤4时的多个非平凡解,包括变号解。另外,我们考虑与BEC相关的一般的临界指数系统,即带有耦合项的的临界方程组。通过利用含两个约束的流形和山路定理,我们得到正的基态解的存在性结果。在系统满足一定对称性条件时,通过推广Brezis-Nirenberg临界指数问题的解的存在性结果,我们仍然可以构造出系统的非平凡解,包括变号解。此外,通过先验估计,我们得到系统的解的不存在性结果。最后,我们考虑与BEC相关的非对称系统。非对称扰动问题自1982年由A.Bahri,H.Berestycki,P.L.Lions以及P.H.Rabinowitz等人提出,直到现在还是一个公开问题。关于方程组的情形,结果非常少;而带耦合项的非对称方程组,据我们所知之前还没有被研究过。我们通过构造一个辅助泛函,并建立一列趋于无穷的修正的极小极大值,得到了无穷多解的存在性结果。
【学位授予单位】:清华大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2014
【分类号】:O175.2

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