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《清华大学》 2016年
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拉普拉斯算子特征值与特征函数的完全连续性

温志远  
【摘要】:本文主要研究以下两个问题。第一个问题:众所周知,带权函数的Sturm-Liouville特征值问题描述了一维弦的空间振动的基本性质。当弦的质量是一般的分布(包括质量集中于若干点)时,其振动可以用以测度为权函数的测度微分方程(MDE)来描述。本文对于这样的MDE特征值问题进行了深入的研究,一是通过例子说明MDE的特征值个数是依赖于具体测度的,甚至可以是有限个数的,二是完整地刻画出了特征值个数与测度之间的关系,三是将特征值和特征函数看成测度的泛函或者映射,并证明了它们对于弱星拓扑下变化的测度具有完全连续性,即当一列测度在弱星拓扑下收敛到一个测度时,其特征值和特征函数按范数收敛到相应的特征值和特征函数。这些说明了特征值和特征函数具有非常强的连续依赖性质。这部分工作可以视为经典Sturm-Liouville理论在MDE时的非平凡拓广。以上是关于一维Laplace算子的特征值理论问题。本文的第二个问题是研究高维有界区域?上Laplace算子的加权特征值。文中证明了其特征值λ_k(ρ)与特征子空间V_k(ρ)关于权函数ρ也具有完全连续性,即当ρ_n在某些Lebesgue空间L~p(?)中是弱收敛到ρ时,λ_k(ρ_n)收敛到λ(ρ),且V_k(ρ_n)按照Hausdorff距离收敛到V_k(ρ),这里指标p的范围与空间维数有关。这些结果,尤其是关于高阶特征值的结果,应该是非常新颖的结果。作为应用,一些特征值的经典结果可以自然地从完全连续性中导出。
【学位授予单位】:清华大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O177

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