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《清华大学》 2016年
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一维有限元超收敛计算的新型算法与自适应分析

钟博  
【摘要】:有限元法作为一种近似方法面临计算精度和计算成本的矛盾,为解决这一矛盾,有限元超收敛计算与自适应分析应运而生,并成为近年来有限元研究领域的热点。有限元解的特点是结点位移精度高,内点位移次之,应力精度最差。为了提升内点位移和应力的精度,本文提出了一种新型超收敛算法,该算法可将内点位移的精度提高至结点位移的精度,应力则至少比有限元应力高一阶。推广一种类似的算法:p型超收敛法,其超收敛效果也十分明显。提出一种新型网格细分策略,结合超收敛解的误差估计,提出一种自适应策略。全文主要工作如下:一、以一维C~0自伴随问题为模型问题,提出一套系统的新型超收敛算法:再分单元法。再分单元法基于有限元结点位移的超收敛性,将单个单元再分成两个子单元并进行局部有限元计算。再分单元法包含两种格式:直接格式和间接格式,直接格式直接修复内点位移,间接格式则先计算位移误差并叠加至有限元位移上,两种格式均可求得逐点的超收敛位移和应力。二、将再分单元法的两种格式推广至其他一维问题的有限元超收敛计算中,包括:(1)Euler-Bernoulli梁问题;(2)Timoshenko梁问题;(3)一维C~0非自伴随问题,再分单元法在这些问题的有限元计算中也表现出良好的超收敛性态:求得的超收敛位移可具备结点位移的精度和收敛阶,求得的超收敛应力至少比有限元应力高出一阶,这为再分单元法推广至其他一维问题打下坚实的基础。三、基于再分单元法的优异表现,推广一种类似的方法:p型超收敛法。p型超收敛法由Douglas和Dupont提出,该法也基于结点位移的超收敛性和局部加密有限元计算,但该法的加密是提高单元阶次的p型加密而不是二分加密,本文将该法推广应用于Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁的超收敛计算。四、基于以上两种算法求得的超收敛位移和应力,对有限元位移和应力进行最大模的误差估计。提出一种新型网格细分策略,该策略可以高效地求得优化的网格。基于可靠的误差估计和高效的网格细分,对一维C~0问题进行了位移和应力两种自适应分析。数值实验表明,本文超收敛算法可用很小的计算量求得逐点超收敛的位移和应力,自适应算法可高效地求得合理的非均匀网格和按最大模满足误差限的解答。
【学位授予单位】:清华大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:TB115

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