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《清华大学》 2016年
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不确定热传导方程

杨向峰  
【摘要】:在经典的偏微分方程理论中,有一类重要的偏微分方程是热传导方程,其热源是一确定的函数.然而在实际生活中,由于环境、材料本身等原因,热源常常受到一些扰动.为了描述这个扰动,通常的做法是用概率论中的Wiener过程,此时的热传导方程就演化成随机热传导方程.但现实中的热传导过程真的符合随机偏微分方程吗?本文将给出随机热传导方程的一个悖论,并提出用不确定理论中的Liu过程去描述热源的扰动,从而导出不确定热传导方程.这就是本文研究的主要问题.另外,本文将给出一类特殊的不确定热传导方程的解析解并给出解的逆不确定分布.而对一般的不确定热传导方程将证明解的存在唯一性定理以及稳定性定理.但对大部分的不确定热传导方程,它们都不存在解析解.本文将证明一个不确定热传导方程的解可以转化为对应的一族偏微分方程的解,这就为数值求解不确定热传导方程提供了可能性.总体来说,本文的创新点主要有:定义了不确定偏微分方程的概念,并推导出不确定热传导方程;对一类特殊的不确定热传导方程给出其解析解和解的逆不确定分布;对一般的不确定热传导方程,在线性增长和Lipschitz条件下证明解存在唯一性定理;定义不确定热传导方程的依测度稳定性,并证明在强Lipschitz条件下的稳定性定理;定义不确定热传导方程的α-轨道,并证明不确定热传导方程的解可以表达成一族对应偏微分方程的解;通过α-轨道,给出解的逆不确定分布公式,解的期望值公式和解的极值公式,并设计算法去求逆不确定分布,期望值和极值.
【学位授予单位】:清华大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O241.82

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