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《清华大学》 2009年
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基于EEP法的线法二阶常微分方程组有限元自适应分析

肖嘉  
【摘要】: 自适应求解功能是成功的数值计算方法争相追求的现代目标。自适应分析由程序自动划分网格和控制解的精度,无需人为参与,又有可靠的精度保证,是现代有限元法最新研究的重要方面。本文对有限元线法导出的二阶线性自伴型常微分方程组边值问题(简称线法方程组),建立了基于单元能量投影(EEP)法的自适应有限元求解策略,初步形成了基于EEP法的线法方程组求解器,提高了EEP超收敛算法的通用性和实用性,也为二维结构完整的EEP自适应求解打下了基础。全文的主要工作如下: 1.对线法方程组表示的模型问题,建立了精确单元理论及近似单元的两种EEP超收敛公式——简约格式和凝聚格式。其中简约格式具有强超收敛性,而凝聚格式则可使位移和导数的超收敛解各分量均能达到h2 m阶的最佳超收敛结果,且随着网格加密,凝聚格式超收敛解的精度和有限元结点值相当。该法是EEP超收敛算法在二阶常微分方程组问题上的成功推广,具有和单个常微分方程问题一致的良好性态。 2.基于保值保形的EEP法两种格式的超收敛解,和网格划分的均差法,本文提出了线法二阶方程组的自适应分析策略。其中单步法是基础的网格划分方法,其误差估计和网格划分标准单一,所得网格精简,便于标准化实施。多步法采用灵活的网格划分方式,即对简约格式为自适应分片多项式插值,对凝聚格式为拟有限元插值,一次划分多个单元,网格生成效率高,但对初始超收敛解的保值性和保形性有较高要求。 3.将基于EEP法的二阶方程组自适应分析用于线法程序的方程组求解,对不同的线法网格划分进行有限元求解的探讨,初步形成了基于EEP法的有限元自适应常微分方程组求解器,在Poisson方程、弹性力学平面问题和中厚板弯曲问题上取得了成功。本文方法在精度控制与可靠性上好于常微分方程求解器COLSYS。其中基于简约格式的自适应分析效率高,网格划分精简,但误差估计偏于不安全。而基于凝聚格式的自适应求解误差估计更可靠,更能保证各结线分量的解严格逐点满足最大模误差限,但有时会造成网格冗余。
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