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《清华大学》 2009年
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含平衡流形系统的正规形及应用问题

林木  
【摘要】: 本论文研究含平衡流形的系统的正规形理论,并对一些与平衡流形相关的非光滑系统进行应用研究。 平衡流形是向量场中由平衡点构成的流形。含平衡流形的系统是一种较为退化的动力系统,近年来在生物、电力市场等领域的建模中都出现了这类系统。与孤立的平衡点不同,系统在平衡流形附近的轨道性质一般更加复杂,比如平衡流形上不同点的稳定性可能发生变化,从而导致无参数分岔。无参数分岔是一般含参数问题的非平凡推广,并且有着重要的应用背景。对它的研究常可归结为平衡流形上一点的正规形问题的研究。 文章给出平衡曲线上一点附近方程的一般形式,并根据方程线性化矩阵的退化程度,将系统分为非退化、一阶退化和高阶退化三类。对于非退化的系统,利用基本的数学分析工具,给出轨道结构的分类,并计算出其对应的正规形。对于退化系统,因其线性化矩阵为零矩阵,不能用传统的正规形理论来处理,本文借助于最简正规形的方法来研究。最简正规形是在传统正规形理论的基础上,利用分次李代数的工具,求解常微分方程的正规形的方法。对于一阶退化系统,本文较完整的计算出其最简正规形,从而在一定程度上给出平衡流形附近轨道结构的分类。对于特定系数的高阶退化系统,也可以计算出它的最简正规形,本文举例说明了求解过程。 平衡流形的整体问题较为复杂,本文仅以两个与平衡流形相关的非光滑系统中的应用问题为例来说明。其一是研究传输容量约束对电力市场竞价过程的影响。在考虑传输容量约束后,电力市场的竞价过程模型会发生变化,一定参数范围内系统将含有一段由平衡点构成的流形。本文将系统转化为在平衡流形附近的迭代过程进行处理。其二是研究微分自动控制机,这是一个由右端项为分段常值的常微分方程组构成的混合系统。本文将该模型从线性推广到非线性,并给出系统周期轨的存在性定理,最后利用非线性自动控制机模型对心理学中无差别记忆问题进行了初步建模。
【学位授予单位】:清华大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O186.12

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【参考文献】
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