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不确定测度及其应用

高欣  
【摘要】: 随机性是现实世界中最基本的客观不确定性,而概率论是用来处理随机现象的数学工具.随着人们对不确定现象了解的日益深入,一些学者开始挑战概率测度的可列可加性,先后提出了容度、模糊测度、可能性测度等完全非可加测度.完全非可加测度在否定可加性的同时,也否定了自对偶性,从而违背了数学科学中最基本的法则矛盾律和排中律.为了解决这一问题,Liu提出一类具有规范性、单调性、自对偶性、可列次可加性的部分可加的不确定测度,并发展出了一套与概率论平行的不确定理论. 本文首先证明了不确定测度连续性的判定条件,随后研究了不确定变量在测度连续情况下的性质,包括分布函数的连续性、关键值不等式以及期望值的单调收敛定理、Fatou引理、有界收敛定理等.其次,本文提出了不确定环境下的极大熵原理,并证明了一系列矩约束情况下不确定变量的极大熵定理.另外,为了度量一个不确定变量相对于另一个不确定变量的偏离程度,我们定义了不确定变量的互熵,并且把互熵的定义扩展到不确定向量上.进一步地,定义了不确定变量的广义互熵和广义熵,并分别研究了熵与互熵、以及广义熵与广义互熵之间的关系.在文章的最后,以条件不确定测度和辨识函数为基础,本文还建立了各种基于刘氏推理规则的不确定推理模型. 本文的创新点主要有: 1.研究了连续不确定测度及其数学性质; 2.研究了不确定变量的极大熵原理,得到矩约束情况下的极大熵定理; 3.研究了多个前件、多条准则的不确定推理规则,建立了相应的不确定推理模型.


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