流体力学方程基于POD方法的降维数值解法研究

【摘要】：特征正交分解方法(Proper Orthogonal Decomposition,简称POD方法),与Galerkin投影方法相结合,对于由偏微分方程组成的流体力学方程,是一种高效的降维方法。特征正交分解方法的降维本质是将随时间变化的物理过程进行低维的近似描述,在捕捉系统能量的意义上达到最优,从而达到减少计算量,节省计算时间和CPU负荷的效果。 本文将POD方法与SVD方法相结合来研究CVD方程的有限差分格式,结合Galerkin投影方法导出了CVD方程具有较高精确度的低维模型,给出了CVD方程最优化的有限差分格式,并导出了这种最优化的有限差分格式的逼近解和通常的高分辨率有限差分格式的逼近解的误差估计。数值例子表明基于POD方法的降维格式解和高分辨率有限差分格式解的误差与理论分析的结果是一致的。 然后将POD降维技术与无结构网格有限元方法相结合,应用在三维海洋模型上,以帝国理工大学海洋模型(ICOM)为算例,得到了相应的POD降维格式,创造性地提出了用POD基函数对降维后的模型进一步加速的方法,并给出了用有限元方法得到的高分辨率模型解和POD降维模型解理论上的误差估计。通过数值试验,我们得到了一组POD基函数,以及POD降维模型的数值解,从而验证POD方法在降维问题上的有效性和可行性。 针对高雷诺数(Re)的PNS方程,利用POD降维技术得到相应的降维模型,并且进一步分析了不同的瞬像个数对降维模型的精确程度的影响。此外,还引入了索伯列夫空间H1范数的POD校正方法,来加强POD降维模型的稳定性。针对不同雷诺数的PNS模型,通过数值试验分别得到最优的扩散系数,然后对POD基函数的构造过程进行校正,从而得到最优的POD降维模型。高分辨率模型与POD降维模型之间的均方误差和相关系数的分析,进一步验证了POD降维方法的可行性,以及H1范数的POD校正方法的有效性。 对于寻找最优初值条件的PNS方程的四维变分资料同化问题,在PNS方程的POD降维模型的基础上,在相应的伴随模式中引入POD降维技术,从而得到POD降维的四维变分资料同化问题。因为POD降维模型的有效性仅局限于控制变量的附近,如果当前的模型状态与构造POD降维模型时的模型状态差别很大,这时的降维模型可能已经不再合适。于是,引入了一种自适应的POD四维变分降维资料同化方法,在资料同化的过程中选择一定的时间重新运行高分辨率模型,从而生成新的瞬像,构造新的POD降维模型。但是,在对目标函数进行优化的过程中,如何选择合适的时间更新POD降维模型显得非常重要。因此,我们将信赖域方法与POD四维变分降维资料同化过程相结合,在优化目标函数的过程中利用信赖域来判断何时需要更新POD降维模型。通过对PNS方程的高分辨率的四维变分资料同化,POD四维变分降维资料同化,自适应POD四维变分降维资料同化,以及信赖域POD四维变分降维资料同化过程所需要的运行时间进行比较,验证了POD降维技术在节省运算时间上的有效性。