压缩感知中测量矩阵的优化与构造方法

【摘要】：压缩感知是针对稀疏或可压缩信号,在信号采样的同时并进行适当压缩的新理论,其采样速率远低于奈奎斯特采样速率。测量矩阵在信号采集和信号重建环节中发挥着至关重要的作用,它是压缩感知中核心的部分,因此研究在理论中和实际应用中的性能良好的测量矩阵有着重要的意义。本文在深入研究压缩感知和测量矩阵的基础上,开展了以下工作： 首先是比较常用的测量矩阵,分析它们各自的优缺点,结合测量矩阵在理论中和实际应用中应该满足的约束条件,深入分析改善测量矩阵性能的角度和方法。(1)为了减少测量值数目和提高重建效果,通过减小测量矩阵和稀疏变换矩阵的互相干性来优化常用的测量矩阵。由测量矩阵和稀疏变换矩阵的乘积构造得到Gram矩阵,基于Gram矩阵的非对角线元素来定义互相干系数,优化测量矩阵的方法就是通过相关算法来减小互相干系数,主要有迭代优化法和有效投影法。(2)为了设计易于硬件实现和计算复杂度较低的测量矩阵,通过分块的方法来构造稀疏结构化测量矩阵。由有一定结构的子矩阵通过对角排列成分块对角的测量矩阵,这样构造的矩阵稀疏并有一定的结构。 针对通过减小互相干性来优化测量矩阵的方法,其中迭代优化方法还有不足之处：迭代次数较多、计算复杂度高。本文提出了基于特征值分解的最优化测量矩阵方法,主要目的是减小测量矩阵和稀疏变换矩阵的整体互相干性。首先定义了一种基于Gram矩阵所有非对角线元素的整体互相干系数,推导出整体互相干系数与Gram矩阵特征值之间的关系后,提出优化模型和求解整体互相干系数最小值的方法。此种优化方法迭代次数很少,并且重建效果更好。 针对通过分块结构化来构造稀疏确定性测量矩阵的方法,其中置乱的分块哈达玛(SBH)稀疏矩阵的硬件性能有待进一步提高。本文提出了基于正交向量组的分块稀疏测量矩阵构造方法,用这种方法构造的测量矩阵可以更好地提高感知效率和降低计算复杂度,存储空间较少并且矩阵中非零元素的值简单,因此易于硬件实现。这种方法构造的测量矩阵压缩比多样化,用选定的矩阵进行图像重建的效果优于置乱的分块稀疏哈达玛(SBH)矩阵,并且比置乱的分块哈达玛稀疏矩阵结构更简单、稀疏度更高。