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Lyapunov-type对称锥规划

罗自炎  
【摘要】: Lyapunov-type对称锥规划是基于Lyapunov算子的一类特殊的对称锥优化问题,且包含了Lyapunov-type半定锥规划作为其重要的特例.该类规划问题在最优控制、稳定性分析以及工程设计等多个领域有着广泛的应用.本文主要利用欧几里德若当代数技术,结合Lyapunov算子及其广义逆的性质与特征,就Lyapunov-type对称锥线性规划的可行性与可解性,Lyapunov类型最小二乘问题解的存在性与唯一性进行研究与探讨.进一步,对一般的对称锥线性互补问题设计两类新的内点算法,这些算法也为Lyapunov-type对称锥规划问题提供了算法的理论框架. 本文分为五章. 第1章,简要介绍了本文的研究背景、动机及意义和主要的研究结果,回顾并发展了欧几里德若当代数及其对称锥的一些基本性质,定义了Lyapunov算子的广义逆,并分析了Lyapunov算子及其广义逆的特殊性质. 第2章,主要分析了Lyapunov-type对称锥线性规划问题的可行性与可解性.首先,我们给出了相应的原问题与对偶问题的基本模型.然后,利用欧几里德若当代数中Lyapunov算子及其广义逆的基本性质,建立了两类Lyapunov-type的Farkas引理,从而为相应的原问题和对偶问题的可行性提供了充要的判别条件.最后,在某些较弱的条件下,我们证明了若原问题与对偶问题均可行则原问题必有解且相应的对偶间隙为零的结论.在这种情况下,原问题与对偶问题的解与对应的KKT系统的解是等价的. 第3章,由Lyapunov-type对称锥线性规划的约束系统构造了一个相应的最小二乘问题,并因而称之为Lyapunov-type对称锥最小二乘问题.利用凸分析工具以及欧几里德当代数的分解技巧,以及对称锥在Lyapunov算子下的像的结构特征,我们探讨了该类最小二乘问题解的存在性与唯一性. 第4章,我们提出了对称锥上两类新的内点算法,并进行了相应的算法收敛性与复杂性分析.我们为线性算子定义了一类新的非单调性质-Cartesian P*(k)性质,并为相应的这样一类非单调的对称锥线性互补问题设计了一类具有多项式复杂性的可行初始点的内点算法.考虑到在很多实际问题中初始可行点难以得到这一情况,我们也为单调的对称锥互补问题提供了一类新的内点算法.该算法综合了标准内点法和光滑牛顿算法的特点,因而可以看成是这两种算法的结合.注意到线性规划和二次规划均可转化成特殊的线性互补问题,因此上述两类内点法同样为文本重点研究的两种Lyapunov-type规划问题提供了算法的理论框架. 第5章,我们总结了本文的主要贡献,同时对进一步可能的研究方向进行了展望.


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