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《北京工业大学》 2012年
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非标准型收敛性及其在统计估计中的应用

王慧颖  
【摘要】:非标准型是算子的一种稀疏表示方法,它来源于求解线性逆问题y(t)=Kf(t)+ε(t).上世纪90年代, Beylkin, Coifman和Rokhlin利用小波基构造了一种既具有快速算法又有显式表达的算子表示方法—非标准型.本文通过讨论微分算子非标准型在Besov空间及整数阶Sobolev空间中的收敛性,研究了密度函数导函数的小波估计及其最优性. 首先,我们利用函数空间的小波刻划推广了微分算子的非标准型的应用空间,研究了其在Besov空间B_(p,q)~s(R)和整数阶Sobolev空间中W_p~N(R)中的一致收敛及范数收敛阶. 其次,由于小波阈值方法在图像处理、统计估计等方面的重要性,我们利用函数的小波展开及小波阈值方法构造了微分算子的小波阈值估计器.利用极大函数定理给出了其在Besov空间B_(p,q)~s(R)和整数阶Sobolev空间W_p~N(R)中的一致收敛及范数收敛阶.这些结果在某种意义上推广了Tao, Vidakovic, Chen和Meng等人的工作. 最后,本文将上述结果应用于非参数统计估计研究.具体地,利用微分算子的非标准型表示及密度函数的小波估计器构造了密度函数导函数的线性小波估计.结果表明:线性小波估计优于传统的核估计,且当r≥p时,该估计在Besov空间Bsr,q(R)和整数阶Sobolev空间WNr(R)中达到了Lp风险的下界,即它是最优的. 当r p时,由于线性小波估计器没有达到最优收敛阶,因此我们利用小波阈值估计器的收敛结果研究了非线性小波估计.当1≤r p/(2(s+m)+1)时,它达到了最优收敛阶;当r=(p/2(s+m)+1)时,它是次优的(在相差lnn因子意义下最优);一个未解决的问题是:当p/(2(s+m)+1)r p时,如何定义密度函数导函数的最优(或次优)小波估计器?
【学位授予单位】:北京工业大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O212.1

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