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《北京理工大学》 2017年
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非共形区域分解合元极方法及其应用

高红伟  
【摘要】:合元极方法,即混合有限元、边界积分和多层快速多极子方法,是计算电磁学中一种全波数值方法,因其兼具精确性和通用性的特点被广泛应用于电磁工程中开域问题的仿真。然而,随着电磁场理论的发展和微波技术的进步,近年来电磁仿真目标的电尺寸越来越大而且结构和材料越来越复杂,尽管计算机技术获得突飞猛进的发展,传统合元极方法仍无法满足当前电磁工程的实际需求,其主要面临如下问题:(1)对于实际的电磁问题,合元极方法的矩阵维度往往很大,直接方法求解很难实现,只能转向迭代方法求解。然而,合元极方法的矩阵是部分稀疏、部分稠密的,因此矩阵性态很差,导致迭代方法求解收敛很慢,甚至不能收敛。(2)虽然目前有多种改进的合元极矩阵迭代求解算法,然而它们都涉及一个稀疏矩阵逆的求解,对于电大尺度目标,在目前的计算机水平下是很难实现的。对于大规模计算问题,区域分解方法被证明是一种行之有效的解决途径,近年来已被应用于计算电磁学中的有限元方法、有限差分方法和积分方程方法来提高它们的计算能力。鉴于区域分解方法的有效性,针对电大多尺度复杂目标仿真,本文将区域分解思想应用于合元极方法中,研究适用于子区域交界面具有非共形网格情况下的非共形区域分解合元极方法,以期提高合元极方法的计算能力。经过几年深入的研究,基于合元极方法的自身特点,提出了两种区域分解策略。第一种区域分解策略是将外部边界积分面与内部有限元体部分分离作为一个子区域,随后将内部有限元体部分划分为若干小子区域。在此区域分解策略下,提出了两类非共形区域分解合元极方法。第二种区域分解策略是将内部有限元体部分和外部边界积分面都分解为若干子区域,每个子区域包含一个有限元体和一个边界积分面。在此区域分解策略下,提出了第三类非共形区域分解合元极方法。第一类为非共形Schwarz型区域分解合元极方法,基于第一种区域分解策略。该方法采用优化的Schwarz型区域分解有限元方法描述内部有限元子区域问题,通过一阶Robin型传输条件将内部区域分解有限元部分和外部边界积分面有效联结,并基于最终的矩阵形式提出一种ABC-SGS预条件来进一步提高系统方程的收敛性。此外,针对交界面非共形网格情况下子区域间耦合矩阵计算难题,实现了一种稳定的基于粘合细网格的积分计算技术。第二类为非共形FETI-DP型区域分解合元极方法,基于第一种区域分解策略。该方法采用效果更好的非共形FETI-DP型区域分解有限元方法描述内部有限元子区域问题,并考察Dirichel型传输条件和一阶Robin型传输条件联结内部有限元部分和外部边界积分面的效果。此外,对内部有限元子区域交接面上Robin型传输条件的实现上也考虑两种方式:拉格朗日乘子和辅助变量。这样一来,共推导出四种不同的系统方程,并通过丰富的数值实验证明基于辅助变量和Dirichel型传输条件的方法是最优的FETI-DP型区域分解合元极方法。第三类为非共形完全型区域分解合元极方法,基于第二种区域分解策略。该方法是优化的Schwarz型区域分解有限元方法和内罚型区域分解边界积分方法的有效融合。有限元子区域交界面采用二阶Robin传输条件联结,子区域内部有限元部分和外部边界积分面采用一阶Robin传输条件边界。与前面提出的方法相比,非共形完全型区域分解合元极方法具有更好的迭代收敛性、线性的计算复杂度和良好的数值可扩展性。此外,该方法允许更为灵活的几何模型建立和区域网格划分,而且可以充分利用几何模型的周期性大大节省计算时间和内存。通过引入区域分解思想,本文已显著提高了合元极方法的计算能力,并将提出的非共形区域分解合元极方法成功应用于现实电大尺寸复杂电磁问题的求解,如电大尺度非均匀复合目标散射问题,大规模贴片天线阵列辐射问题,大规模频率选择表面(FSS)阵列散射问题和极具挑战性的在内嵌FSS复合天线罩下Vivaldi天线阵列辐射问题等。
【学位授予单位】:北京理工大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O441;O411.1

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