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无界区域Stokes问题基于自然边界归化的区域分解法

赵鹏  
【摘要】:Stokes问题是流体力学中的经典模型,也是科学工作者经常遇到的问题,而且在各种领域有着广泛应用.研究Stokes问题还有助于处理更复杂的Navier-Stokes问题,同时借助计算机处理复杂问题,求出数值解. 区域分解法是偏微分方程数值方法,区域分解方法及其收敛性的研究大多是在线性偏微分方程下得到的.由于区域分解法不但可以缩小求解规模,进行并行运算,而且可以在不同区域选取不同离散方法和模型.重叠型区域分解算法以Schwarz交替法为理论依据,Schwarz算法可以把复杂区域分解为若十相互覆盖的子区域,在子区域上可以用快速算法求解;并且可以巧妙地把Schwarz方法与投影方法联系起来,从而使那些看起来复杂的收敛证明,简化为对投影算子的估计.对于多个区域重叠的情形,甚至非线性问题的Schwarz方法皆在统一框架下得到处理. 本文研究了Stokes问题在平而无界区域上的重叠型区域分解法.先采用混合元方法解决内子区域问题,求得压力和速度,之后用Poisson公式解出外区域的压力和速度,通过Schwarz交替法,这样交替迭代解决了区域无界性的问题,按照原始变量求出原问题的数值解.并且证明了重叠型区域分解法的收敛性.最终数值例子表明结论是正确的.对于人工边界元法,本文得到了平面无界区域上Stokes问题的Steklov-Poincare映射及其的六个等价形式,很自然地与有限元方法耦合在一起,并且得到了误差估计.


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