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高维小波函数逼近

李亚楠  
【摘要】:函数逼近论是一类数学研究课题,它内容丰富实践性强,并且伴随着悠久的历史,它的发展和现代计算数学的发展紧密联系.在古典时代,逼近论的重点研究内容是单变量的函数构造论,在现代函数逼近论中,它的主攻方向已经逐渐转变为多元函数逼近以及构造不同的逼近工具方面,并且现代函数逼近论已经发展成为函数理论中最有活力的分支之一.现代数学的许多分支,包括代数、拓扑、泛函分析等基础学科,和数理方程、概率统计、计算数学这些应用数学分支,它们都和逼近论有着密不可分的关系.函数逼近论在过去基本上是属于古典分析的一个分支学科,而现在它和许多数学分支不断交叉,同时紧密联系现实生活,最终导致它的综合特色不断完善和提高.小波分析的出现,给函数逼近论指出了新的发展方向,也就是小波函数逼近.近年来,小波理论在很多领域都取得了成功的应用,例如音乐语音合,图像压缩,信号处理,量子物理.它们主要应用了小波函数的两个最重要的性质,一是各类小波及小波基函数所共有的良好的时频局部化能力,二是小波基可以构成各种常用空间的无条件基.小波的特殊性能包括正交性,紧支性,衰减性,光滑性,时频窗面积以及消失矩等. 本文基于一维函数最优恢复的思想,我们先利用离散化方法证明了一维光滑函数类的逼近结果;然后给出了多维拓展工具,利用小波过渡工具将函数类结果推广到Besov空间,通过多维小波多分辨性质对以上结果作进一步逼近研究,得到了多维小波逼近结果;最后我们利用经典的积分离散化方法,以Dirichlet核为主要逼近工具,对小波函数类进行了逼近,得到了上界估计的最佳逼近阶.


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