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《北京邮电大学》 2011年
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符号计算与若干非线性发展方程的解析研究

许韬  
【摘要】:符号计算是数学、计算机和人工智能相结合的一门交叉学科。随着计算机硬件性能的提高和软件功能的增强,人们通过计算机程序化地处理一些数学推理和代数计算问题逐渐成为可能。孤子作为非线性发展方程一种空间局域化的且具有稳定结构和弹性碰撞性质的波动解,其形成是基于方程中色散与非线性作用相互均衡的结果。在孤子理论,符号计算主要用于处理在研究非线性发展方程的可积性质和解析解时所涉及到的大量代数运算。发展构造性代数算法并转化为符号计算程序包是借助符号计算对孤子理论进行研究的任务。本文利用符号计算解析地研究了若干向量的、耦合的、变系数的和高维的非线性发展方程,并提出了一些可在符号计算系统上实现的代数算法。具体地讲,本文的研究内容包括以下六方面: (1)基于符号计算对向量N孤子解的多耦合Wronski行列式表示和渐近分析的研究。利用Darboux变换和Cramer法则,发现了源于非线性光纤光学等领域的向量自聚焦非线性Schrodinger(NLS)万程的N孤子解可以表示为多耦合Wronski行列式的形式。进而,通过提出一些新的多耦合Wronski行列式恒等式直接对向量N孤子解进行了验证。为了便于直接分析向量孤子的碰撞性质,还给出了一种可以推导任意给定的向量N孤子解在t→(?)∞时的渐近表达式的代数算法。利用该算法得到了向量双、三孤子解的渐近表达式,并以此对向量孤子的碰撞特点进行了分析,包括向量孤子的所有分量在碰撞之后振幅保持不变的参数条件、向量孤子碰撞所引起相位变化的显式表达式以及描述各个孤子分量在碰撞前后状态变化的广义线性分式变换。 (2)基于符号计算对耦合导数NLS系统及其所描述的空间等离子体中双极化Alfven孤子现象的研究。通过建立两种规范等价的Lax对证明了耦合导数NLS系统在“具有Lax对”的意义下是可积的。借助符号计算,将耦合导数NLS系统双线性化,然后利用Hirota方法构造出该系统的解析单、双孤子解,进而基于对双孤子解的渐近分析发现了双极化Alfven孤子的碰撞具有三个特征:(a)孤子的速度和宽度在碰撞前后保持不变;(b)Alfven孤子的两个极化分量在一定参数条件下会发生振幅改变的碰撞,同时伴随着能量在两个分量之间的重新分配;(c)每个碰撞Alfven孤子左、右极化分量的总能量在碰撞过程中是守恒的。 (3)基于符号计算对变系数非线性发展方程的可积条件以及光纤和等离子体中非均匀孤子现象的研究。通过Painleve检测方法确定出一个变系数N耦合NLS方程和一个变系数导数NLS方程的可积条件。对于变系数N耦合NLS方程,利用Darboux变换获得了非均匀的单、双孤子解,并讨论了在密度非均匀等离子体中一些波包孤子激发现象以及在非均匀光纤传输系统中孤子脉冲的传播和碰撞性质;对于变系数导数NLS方程,利用Hirota方法求出了非均匀的单、双Alfven孤子解,并分析了非均匀因素对Alfven孤子传播和碰撞的影响以及坍塌Alfven(?)氏子的能量辐射效应和在宇宙等离子体中的潜在应用。 (4)基于Lax对的非线性化对修正Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程和2+1维Gardner方程可积分解的研究。通过对单个或两个对称Lax对所含的势函数和特征函数施加某些约束关系,将修正KP方程分别分解为多耦合Chen-Lee-Liu (CLL)方程族和多耦合Kaup-Newell(KN)方程族的前两个方程,以及将2+1维Gardner方程分别分解为广义Burgers方程族和多耦合混合导数NLS方程族的前两个方程。对于分解后的多耦合CLL方程族、KN方程族和混合导数NLS方程族,分别构造了各个方程族的Lax表示和Darboux变换;而对于广义Burgers方程族,则利用Hopf-Cole变换将其线性化。进而,给出了以Darboux变换和Lax对的二元非线性约束方法为基础的两个代数算法。这两个算法可以在符号计算系统上实现,从而迭代产生修正KP方程和2+1维Gardner方程的一系列解析解。 (5)符号计算与Clarkson-Kruskal (CK)直接法的推广应用:(a)直接建立了源于流体力学和天体物理学的2+1维和3+1维Burgers方程至Burgers方程的相似变换,从而使得Burgers方程所有的解都可以分别映射为两个高维Burgers方程的解,特别地,借助这些变换构造了几族含有若干任意函数的高维N冲击波型解,它们可以描述二维和三维冲击波的非行波效应和聚合现象;(b)根据CK直接法的思想(但是要求自变量的数目保持不变),获得了一个源于非均匀等离子体、非线性光纤、动脉血管和Bose-Einstein凝聚的广义变系数NLS方程至标准NLS方程的三族变换以及相应的系数函数约束条件,并建立了该变系数NLS方程分别在对应约束条件下的Lax对;(c)将CK直接法和Hopf-Cole变换相结合,将一个源于流体力学的变系数受迫Burgers方程在一定约束条件下线性化为常系数的热传导方程,并得到一族可描述冲击波非均匀和受迫效应以及聚合现象的N冲击波型解。 (6)基于符号计算对tanh函数法的推广。通过引进一种含有负幂次项且带有两个任意参数的广义级数展开形式对已有的tanh函数法进行了推广。将这种广义展开形式与Ricatti方程相结合,推广的tanh函数法可用于构造非线性发展方程更多孤子解、三角周期解和有理解。利用该方法获得了描述浅水波运动的Whitham-Broer-Kaup方程五族新的孤子解,包括两种非等振幅的双峰孤子解。
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