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量子纠错编码若干问题的研究

刘太琳  
【摘要】: 在Calderbank等人的工作的基础上,进一步研究了由他们所构造的一簇量子群的自同构群,得到了许多重要结论。详细研究了量子二次剩余码与经典二次剩余码的关系,并对量子二次剩余码做了好的扩展。深入研究了量子码的等价性问题,给出了若干基本结论,特别地,证明了MacWilliams的一个著名定理在量子情形不成立。利用Schlingemann和Werner两人提出的图论方法构造出许多好的非二元量子码。 Calderbank等人利用经典单形码S_m及其一个不含不动点的自同构f构造出一簇量子纠错码C_m。他们证明了C_m的自同购群Aut(C_m)有一个由f在GL_m(2)中的中心Z(f)与经典单形码S_m的的一个半直积构成的正规子群H,且指数[Aut(C_m):H]恰好是集合F_f={f,1-f,1/f,1-1/f,1/(1-f),f/(1-f)}中那些与f共轭元素的个数。本文刻画了商群Aut(C_m)/H与集合F_f的关系,给出了一个确定集合F_f中那些与f共轭的元素的方法,还证明了在线性情形下,商群Aut(C_m)/H与3阶对称群S_3是同构的,而且H是GL_(m/2)(4)与经典单形码S_m的一个半直积,并且推关广了Calderbank等人的一个结果。 设p=4m+1是一个固定素数,o=Z[δ_p]是实二次域Q(δ_p)的整数环,这里δ_p=(p~(1/2)+1)/2。任取素数l,Rains利用o上的一个多项式构造出循环o-模c,通过对循环o-模c作摸l运算构造出量子二次剩余码c_l,这样的一个c_l可构造出一个参数为[[p,1,d(l)]]_l的量子码。Rains证明了当c_l是分裂型线性码的时候,c_l是c_l~(1)X与c_l~(2)(1-X)的直和,这里c_l~(1)与c_l~(2)是它的两个相伴码,X∈Mat_2(GF(2))。本文证明了分裂型线性量子二次剩余码c_l的两个相伴码c_l~(1)和c_l~(2)恰好就是经典删余二次剩余码(?)和(?),由此我们可以通过经典二次剩余码理论来研究量子二次剩余码。构造出量子二次剩余码的扩展码(?)_l,与经典情形类似,对几乎所有的l,量子二次剩余码的扩展码(?)_l都以射影幺模群PSL_2(l)为自同构子群。 研究了量子纠错码的等价性和保距同构,推广了Bogart等人的一些概念,并给出若干基本引理和定理,这些结论对进一步研究量子码的等价性和保距同构是非常有用的。在此基础上构造出一个反例,证明了在量子情形下,MacWilliams的一个重要定理不成立。 利用由Schlingemann和Werner两人提出的构造量子纠错码的图论方法,给出了一个构造非二元量子循环码的方法,并给出一个具体的例子。对于任意的奇素数p,构造出量子码[[8,2,4]]_p和[[n,n-2,2]]_p。


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1 刘太琳;量子纠错编码若干问题的研究[D];北京邮电大学;2007年
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