复杂系统中的演化和动力学过程

【摘要】： 当今的科学界正经历着一个划时代的变革,在这变革中孕育出了一门新的学科——复杂性科学。近年来,复杂性研究已成为国际上科学研究的前沿和热点,许多著名的大学纷纷设立相关的院系及研究机构,研究者来自各个领域,包括物理学家、生态学家、经济学家、各类工程师、昆虫学家、计算机科学家、语言学家、社会学家和政治学家。一场关于复杂性研究的科学竞争已经在世界范围内展开。本文主要对两类复杂系统上的动力学行为进行了分析,通过理论分析和计算机模拟,我们重点讨论了耦合混沌系统中的反向同步现象和异质性结构中合作演化过程。 本文的第一章主要介绍复杂科学的发展历史和研究对象。特别地,就本文所涉及的混沌系统、复杂网络和社会系统进行了着重介绍。 第二章系统地研究了耦合混沌系统中的反向同步现象。首先证明了反向混沌同步不能被简单地视为完全同步的一种特殊形式。然后通过本征值分析给出了系统达到反向混沌同步的条件和参数区域。具体地,我们研究了耦合Lorenz系统和耦合Chua电路系统上的反向混沌同步现象,观察到了丰富的动力学行为,譬如迟滞现象、反向同步状态和非反向同步状态的竞争。在研究系统如何走向反向同步时,我们发现在耦合的Lorenz系统中,系统是通过开关阵发走向反向混沌同步的；而在耦合Chua电路系统中,反向同步状态则是通过和其他状态竞争实现的。 从第三章到第六章主要利用博弈论结合近年来被广泛利用的基于个体(agent-based)的建模方法对社会系统中合作演化进行研究。第三章主要介绍了博弈论的基础知识和相关结论以及博弈论对合作问题进行研究的一些成果。第四章、第五章和第六章分别从更新规则、结构的异质性和收益矩阵的异质性这三个角度对合作演化进行了研究。 在第四章,通过引入Helbing-Schlag比例更新规则(规则A)和其改进版(规则B),我们研究了在不同的更新规则下合作在星型结构上的演化。在单个星型结构上的研究结果显示hub节点的状态对系统演化的方向具有重要影响。特别是在规则A(现在研究最常用的规则)下,hub节点所采取的策略最终会成为整个种群竞争优势策略。而在规则B下,hub节点的状态对系统整体的演化影响被减弱,但是系统演化稳定状态依旧强烈地依赖于初始状态。此外,系统还显示出丰富的动力学行为,其相空间按hub节点的状态不同可分成三个区域：无跳变区、单次跳变区和循环跳变区。在对双星型结构上的研究显示hub节点的连通对采取规则A的系统影响比较大,而对采取规则B的系统几乎没有影响。但无论是在规则A下还是在规则B下,整个系统的动力学仍可从单个子系统的动力学分析得到。 在第五章,我们力图通过建立理论模型来解释囚徒困境中合作能够在异质性结构(譬如无标度网络)上面存在的这一现象。通过分析网络结构我们建立了三个相关但结构上逐渐复杂的网络。根据主方程,我们给出了这三个网络上面系统的复制方程。根据这些复制方程,我们得到了合作频率及其结构异质性和合作频率之间的关系式。在改进的部分共享网络上我们重现了和无标度网络中类似的合作频率演化行为。 在第六章,我们从收益矩阵的异质性角度对合作在规则网络上的演化进行了研究。收益矩阵异质性以两种方式引入。第一种方式将格点赋予不同的属性,该属性决定其采取怎样的收益矩阵进行博弈,对采取这种方式的模型简记为模型A。第二种方式将边赋予不同的属性,该属性决定其两端的节点相遇时采取怎样的收益矩阵进行博弈,对采取这种方式的模型简记为模型B。在模型A中存在合作加强,而在模型B中以合作抑制为主。通过理论分析我们给出了合作加强和抑制的原因。