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一类趋化性生物模型行波解的存在性和稳定性

黎勇  
【摘要】: 我们研究的趋化性(Chemotaxis)生物模型(Keller-Segel模型)为 我们研究了不同情形下(其中D≥0,μ(s)、χ(s)、κ(s)均为幂函数形式)方程组的行波解的 存在性与稳定性。 1)存在性 对D=0的情形进行了总结归纳,利用相平面分析的方法得到了D=0时行波解的存在性的 充分必要条件;对D>0的情形(r=0,p=1,1-β<α<1)得到了行波解的存在性,改进了 Nagai和Ikeda(1991)([9])原有的结果。 2)稳定性 我们从理论上研究了行波解的稳定性,对已有的稳定性的猜想以及数值计算的结果等进行了数 学理论上的解释,得到了一些新的理论分析结果,弥补了国外现有的一些理论研究结果中的缺陷。 对D=0的情形,我们研究了r=0,p=1,1-β<α<1时的线性化方程在L~2和加权空间中 的本质谱的分布情况,通过选用合适的权函数,经过细致地分析与计算,在加权空间中得到了本质谱 均具有负实部。然后相应地研究了本征值的分布情况,得到了行波解在相应的加权空间中:0为简单 本征值;当|λ|充分大,Reλ≥0时没有本征值,这弥补了Guero和Liron(1989)([8])中没有研究本 质谱的分布情况和未证明0为简单本征值的不足。由于理论研究方法上有困难,常用的研究方法(如 不能将特征方程转化为自共轭的形式以及不能利用Sturm-Liouville定理等)很难应用,对于有界域 内具有非正实部的本征值的不存在性没有理论研究结果,但利用Guero和Liron(1989)([8])中当|λ| 有界,Reλ≥0时没有本征值的数值计算结果,我们可以认为D=0,r=0,p=1;1-β<α<1 时行波解是稳定的。 对D>0的情形,当r=0,p=1,1-β<α<1以及D小时,通过选用合适的权函数,并在 此加权空间中研究了本质谱的分布情况,经过细致地分析与计算,在加权空间中得到了本质谱均具 有负实部。然后相应地研究了本征值的分布情况,得到了行波解在相应加权空间中:0为简单本征 值;当|λ|充分大,Reλ≥0时没有本征值。这弥补了Nagai和Ikeda(1991)([9])中没有研究本征 值的分布情况以及未证明0为简单本征值的不足。而且,我们得到的结论与[9]中的结论有本质上 的差别。但对于有界域内具有非正实部的本征值的不存在性尚未得到理论研究结果,同D=0时 一样,我们可以考虑利用数值计算来得到相关的结果。


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