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《首都师范大学》 2001年
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无限维李代数结构理论中的若干问题

徐海霞  
【摘要】: 本文主要讨论三个内容:Kac-Moody代数的配对生成元问题; sl_n(C_q)上有限维不可约模的分类;n-元微分算子代数的导子李代数 结构。 在代数体系的结构和分类理论当中,最小生成元的个数及其具 体的刻划是一个基本问题。李代数理论中,有限维半单李代数以及 Kac-Moody代数的最小生成元的个数问题已经全部解决。配对生成 元问题是一个更深层次的问题,即任意给定一个元素,找到与之配 对的另一个元素,这两个元素生成整个代数。有限维单李代数的配 对生成元问题已经解决。在Kac-Moody代数中,如果预先给定的元 素属于Cartan子代数或者是实根向量,能够找到它的配对生成元。 但是对于预先给定的元素是虚根向量的情况,由于虚根空间以及代 数的结构尚不清楚,难度很大,目前没有任何结果。本文给出一个 充分条件,即在可对称化的Kac-Moody代数g(A)中,对于满足一定 条件的虚根向量,能够找到它的配对生成元。对于四种无扭仿射李 代数,本文证明了任意给定一个虚根向量,都可以找到与之配对的 生成元。 本文第四章讨论了sl_n(C_q)上有限维不可约模的分类。C_q是结 合于矩阵q的量子环面,sl_n(C_q)是以C_q中元为元素的全矩阵代数 gl_n(C_q)的子代数。sl_n(C_q)的表示理论对于Quasi-simple李代数的分类 和表示有重要的意义。为书写简便,我们讨论二阶矩阵q,n阶矩 阵可以类推。我们分两种情况讨论: 当p不是单位根时,p是矩阵q的(1,2)-位置的元素,易证sl_n(C_q) 上有限维不可约模都是平凡模;当p是m次单位根时,sl_n(C_q)模 掉某一个理想得到的商代数是有限维半单李代数,由于有限维半单 李代数的有限维不可约表示有已知的理论,利用已知的结论,得到 sl_n(C_q)上有限维不可约模的完全分类。 本文第五章讨论了n-元微分算子代数的导子李代数结构。近年 来,关于Cartan型李代数推广的研究非常活跃。Weyl型李代数就是 最近提出的,它的理论框架刚刚建立,目前关于weyl型李代数只有 单性及自同构的一些基本理论.我们要讨论的。元微分算子代数是 VVeyl型李代数的一种.文献[Z3]中给出了当n-l时微分算子代数 的导子李代数结构,我们给出当n三2时n-元微分算子代数的导子 李代数结构:是一个固定的外导子和全体内导子的直和。
【学位授予单位】:首都师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2001
【分类号】:O152.5;O153.3

【共引文献】
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