亏群和块的结构

【摘要】： 本文是围绕着模表示论中两个主要问题展开的。这两个问题分别 是亏D块的存在性和确定块的结构。对第一个问题，本文首先从置 换模和Hecke-代数的角度对亏D块的存在性给出两个新的刻划，然 后又用几种不同的方法对一些特殊的块的存在性给出了刻划（这些 特殊块包括亏零块和以Sylow p-子群的次极大子群为亏群的块）。在 这个问题的研究中对置换模和Hecke-代数也做了系列研究。对第二 个问题，主要研究了亏群和块的结构的相互影响。首先，对亏群满 足某些条件的块，证明了k（B）-猜想；然后，对K（B）-L（B）=1的块 的亏群给出了一些刻划。 本文的主要结果有： 定理1．FΩ中有以D为顶的不可分分量当且仅当存在一个亏D的 有向图Г_i和一个正整数m使得Г_i中m-次奇图与m-th偶图的差 模p不为0。 定理2．G有亏D块当且仅当存在一个亏D~Δ的有向图Г_i和一个 正整数m使得Г_i中m-次奇图与m-次偶图的差模p不为0。 定理3．如果G包含一个p-幂零的正规子群N=ED。其中E= O_(p')（N）.D∈S_p（N）。且Q≤N。那末G有亏零块的充要条件是O_(p')（N）中 有G的亏零p-正则类。 2（j（）l年 首都师范大学腮研究生学位论文 2 定理4．IFp勺／（IFp勺）是脓的． 定理5．G没有亏D的P－块当且仅当对亏群满足条件只h北D“ 的 K，任意朽 IVi在邱中的重数被，整除，在这里 n一． 定理 6．若条贿情形（iii），则 N有亏 D P－块当且仅当 H－H／D有 亏零P－块． 定理7．若条件满足情形（i叫，那末入有亏D块的充要条件是存在 一忖 D的 p－Ndi。，当 p 2 3时，有门A（y川，。）二 1；当。二 2时，有 （Ac（g），P）＝l· 定理8．如果G龄一个p－幂零的正贴群N－ED，其中E＝ O。，（N，D。sv（N，且 Q 5 N，那末 G有亏零块的充要条件是O。，OV）中 有G的亏零。正则类． 定理9．设块B的亏群为o（，j）是孙LO帅－子对若又椎意。，O。D， 它们在D共轭的充要条件是它们在G中共轭则D的每一Ng标是 （G，小稳定的，且若。是G落在b中的高零不可约指标，则下面晌 是从r。D）多r。（o，N的等距嘶： 0 －＋ t＊0· 定理m．若0。G且人w一仰）＝I，则D是初等交换的p－群．