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二维双重定向渗流模型临界概率函数qc(p)的性质

左西年  
【摘要】: 本文从Grimmett的一个关于随机定向渗流的猜想出发,系统地总结和叙述了随机定向渗流的基础知识;在此基础上进一步构造了二维情况下的等价模型:二维双重定向渗流模型。在研究双重定向渗流模型中证明了其渗流临界概率函数q_c(p)的单调性、对称性和连续性。 令L~d=L_+~d∪L_-~d,其中L_+~d=(Z~d,E_+~d),L_-~d=(Z~d,E_-~d)。E_+~d(E_-~d)为定向边集,在不考察其定向时,E_+~d(E_-~d)=E~d,且E_+~d(E_-~d)中的边具有指向坐标轴正(负)方向的定向。L~d=L_+~d∪L_-~d=(Z~d,E_+~d∪E_-~d),即其顶点集为Z~d,而对于Z~d中的任意相邻两点(即其欧氏距离为1),它们之间存在两条定向边,其一属于E_+~d,另一属于E_-~d。分别考察L~d的子图L_+~d上的参数为p的定向边渗流,记其渗流测度为P_p~+,L_-~d上的参数为q的定向边渗流,记其渗流测度为P_q~-,记P_(p,q)=P_p~+×P_q~-,则P_(p,q)为我们“双重定向渗流模型”的渗流溉率测度。 将E_+~d中的边记为e~+,E_-~d中的边记为e~-,“0”表示“闭”,“1”表示“开”;在当前的模型中,路、定向路、串及无穷定向串的概念与随机定向渗流中的唯一区别就是:此时的边可以是e~+也可以是e~-。此时的概率测度的关系如下:{X(e~+):e~+∈E_+~d},{Y(e~-):e~-∈E_-~d}为独立同分布的随机变量列,其分布满足: 此时的渗流概率函数为: θ(p,g)=P_(p,q)(o→∞) 二维双重定向渗流模型临界概率函数q_c(p)按如下定义给出:(定义)给定p∈[0,1],二维双重定向渗流模型临界概率函数 q_c(p)=inf{g:θ(p,q)>0} 2 双重定向渗流模型可这样看:给定q,我们得到一重的随机定向图,再给定q,得到 第二重定向模型,两者合在一起,可以认为是研究随机定向图上(具有参数厂) 的定向渗流模型(具有参数q)。另一方面,参数为厂的定向图,可以看成是对 参数为q的定向模型的一个促进。即考察在两重定向模型中都不存在定向无穷串 的前提下,两个合在一起时,何时存在无穷串。刻画的是给定尸的前提下,双重 渗流模型发生对参数q的起码要求。作为双重定向渗流的研究;我得到了qcM 的如下结果: (定理)对于二维双重定向渗流的临界概率函数q。仰而言: (1冲(0〕一大: (2瓜(瓦)一0: (单调性)l(功在”对上严格单调递减. (对称性) q(尸)在卜 蚓关于直线厂一q天称. (连续性)Pc巾)在[0、歼]上为连续函数. 作为上述性质的应用,本文还证明了如下的结果: (定理)q()叶 本文主要的证明方法是促进技术,它是研究渗流中的临界慨率时的重要方法,从 本文的证明中可以清晰的看到这一点。 本文的另一重要之处在于比较系统地总结了渗流中的基本知识和方法,之所以这 样做是因为它们都是渗流发展中最经典和以后研究中常用的方法。


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