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偏序集上的蕴涵代数

李志伟  
【摘要】: 非经典逻辑是多值逻辑、模糊推理及模糊控制等的理论基础,模糊逻辑是非经典逻辑中极具活力的一个分支。本文的目的是使用代数工具对模糊逻辑进行研究,给出模糊逻辑的一类代数抽象,即偏序集上的蕴涵代数,研究偏序集上蕴涵代数与其它代数结构,如MV-代数,Heyting代数之间的关系,以及偏序集上蕴涵代数的滤子与其结构等。特别值得提出的是,与其它为研究逻辑系统而引入的代数结构不同,蕴涵代数是对一个逻辑联结词,即蕴涵算子(蕴涵逻辑联结词)抽象而得到的,其它算子均是由蕴涵算子诱导而得到。本文的主要工作如下: 1.基于对逻辑系统中蕴涵算子应满足条件的分析,引进了偏序集上基础蕴涵代数和偏序集上蕴涵代数的概念,得到了其在不同条件下的基本性质,给出了(基础)蕴涵代数的特征刻画,以及偏序集上(基础)蕴涵代数成为正则的充分必要条件。特别是在正则条件的情形下,得到了基础蕴涵代数与蕴涵代数之间的关系,并从格的角度给出了偏序集上蕴涵代数的某些格的性质以及使其成为格的一些条件。 2.对于偏序集上蕴涵代数中的蕴涵算子引入了一些逻辑条件,得到了偏序集上具有不同条件的蕴涵代数与MV-代数之间的关系,给出了偏序集上蕴涵代数与MV代数之间的几个等价定理。系统地研究了偏序集上蕴涵代数与Heyting代数之间的关系,得到了蕴涵代数中蕴涵算子的一个较好的条件,并给出了偏序集上蕴涵代数成为布尔代数的一些条件。 3.利用上述得到的关于蕴涵代数中蕴涵算子的条件,研究偏序集上具有条件(C)的蕴涵代数的MP滤子及Fuzzy滤子。借助于MP-滤子的概念,得到了偏序集上具有条件(C)的蕴涵代数中由非空集合所生成MP滤子的表示定理,证明了由其上所有MP-滤子组成的集合MF(X)是一个完备的分配格;得到了蕴涵代数中Fuzzy滤子与MP滤子的关系,给出了Fuzzy滤子成为Fuzzy素滤子的若干刻画;并利用MP-滤子和Fuzzy滤子,刻画了一类偏序集上蕴涵代数的结构。


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