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正则不可数基数反映GO-空间的性质

马利文  
【摘要】: 一般拓扑学经历了一百多年的漫长发展历史.其理论和方法已渗透到几乎每一个重要的数学领域以及物理、化学、生物乃至工程技术中。至今,中外拓扑学家已在广义度量、基数函数、紧致性、维度理论等等方面取得了丰硕成果。而值得注意的是,在一般拓扑学的研究历史中,我们常常借助一类特殊的空间来思考和解决问题,如我们熟悉的经典构造:Sorgenfrey直线K、Michael直线R_Q、Niemytzki平面N、K×K、R_Q×P等等,漂亮地刻画了细微而深奥的拓扑性质。这类空间就是GO-空间或其乘积,GO-空间特殊整齐的序结构给拓扑学家们提供了广泛的想象和构思的空间。在GO-空间中,不仅给一般拓扑学提供了精彩丰富的例证,而且架设了一般拓扑学和相关数学分支的桥梁,如格论、Domain理论、图论及实数理论等等。因而,在一般拓扑学中,把GO-空间作为一个单独的分支进行研究有着重要的理论和现实意义。早在20世纪初拓扑学工作者已对GO-空间作了初步探讨。一个世纪来,GO-空间的研究成果不仅在内容上丰富和充实了一般拓扑学,而且由于借助集合论的基数和序数理论、公理体系及组合思想等,在方法上也给一般拓扑学增添丁巧妙的创造性和突破性,使一般拓扑学变得更加精彩生动。 但对GO-空间的研究还有许多尚待解决的问题,本文的主要工作是发现了GO-空间的最小线性序紧化中点的共尾数能很好的反映GO空间的性质,从而把GO-空间和序数联系了起来,解决了前人遗留的一系列问题。 1971年,Lutzer证明了每一个GO-空间是可数仿紧空间,但我们知道不一定是仿紧空间。本文第一章给出了GO-空间是k-仿紧空间的充分必要条件(k是正则基数): 设k是一个正则不可数基数。一个GO-空间X是k-仿紧的(<k-仿紧的)当且仅当对任意x∈LX-X,i∈2,有i-cfx>k(i-cfx≥k)或i-cfx≤w或x是一个i-Q-gap。 并由此导出了GO-空间是仿紧空间的充分必要条件及每一个GO-空间是可数仿紧空间。 1983年有这样的结论:k~η是<k-仿紧空间,其中k是正则不可数基数且η<k是基数[2]。本文第二章把它推广到一般的GO-空间的乘积上: 设{X_α}_α<η是一族GO-空间,其中η是基数。如果对任意正则不可数基数k>η和任意α<η,i∈2,及x∈LX_α-X_α我们有i-cfx>w,则∏_(α<η)X_α。是k-仿紧(<k-仿紧)的充分必要条件是对任意α<η,i∈2,及x∈LX_α-X_α,有i-cfx>K(i-cfx≥k)成立。 在本章还定义了点可缩性质,证明了两个序数的乘积是有遗传点可缩性质的空间。 2000年,N.Kemoto,K.Tammno和Y.Yajima又证明了序数空间乘积的子空间具有仿紧性和一些广义仿紧性的充分必要条件[14];1992年,N.Kemoto,H.Ohta和K.Tamano证明了序数空间乘积的子空间具有正规性的充分必要条件[3];1996年,N.Kemoto,T.Nogura,K.D.Smith,和Y.Yajima证明了两个序数乘积的任意子空间的正规性、集体正规性、收缩性是等价的[11];但这些结果都没有突破序数空间的特殊性,本文第三、四、五章把它们逐一推广到了一般的GO-空间的乘积的任意子空间上。 第三章的两个主要结果分别是: 11 l设 X,Y为两个 GO-空间,且存在人二Slip仁一CfCJ—C切:二 E L入y E L\J E 2} 令A二(cE*x一x:存在dE*6一CfC二 },X一切E*Y一y:存在6E*E一C* 二山), 若(八)Xo的任意子集不在LX的某闭子空间上稠且Yw的任意子集不在LY的某闭子空 间上稠.Z〔XXY,则Z是仿紧空间的充分必要条件是对任意k,…E*XX*Y一8 (l).若存在i E 2,有i-CfC-P 2叫,则存在U的闭无界集 C,使得 Z切}和 ZO[C]U{叫 可分离; (2)、若存在j E 2,有j一Cf9二*三山l,则存在*的闭无界集D,使得*x}和 Z’[*]*{y} 可分离; (3X若存在6,JEZ,有6—CfC二vZ。1,j—C为一。三。l;贝分别存在儿。的闭无界集 CD,使得马仰叫一和了’p卜切1可分离 2.设 X,厂为两个 GO-空间,且存在入二 SliP卜一 Cfx,j—Cfy:y 6 LX,y 6 LY i,J E 2}. 令L=(cE*X一x:存在6E*d一CfC二*,X二切E*Y一Y:存在CE*6一C* 一山, 若(八)Xo的任意子集不在LX的某闭子空间上稠且Yw的任意子集不在LY的某闭子空 间上稠.对ZCXXY,以下(A)-(E)等价: (A)了是亚紧空间; (B)Z是 screenable空问; (C)Z是弱子亚lindlbf空间; (D)又任意k,VE*XX*y一Z, 问)若存在6E2,有6一CfC=V占叫;则少’仰川n兄(幻川l川不是v的稳定集; (dZ)若存在j E 2,有j一C匆二卜Z UI,则o一I【nK(幻n(山*1不是U的稳定集; 此)若存在6,iE巳有d一CfC2j一C匆二K三*;,则么(幻不是K的稳定集.


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