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《首都师范大学》 2004年
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欧几里得格和欧几里得空间中离散分形指标与Z_2对称分岔理论若干问题的研究

时红廷  
【摘要】:本文研究欧几里得格和欧几里得空间中有关离散分形指标及其内蕴关系,和Z_2对称分岔理论中的若干问题。本文工作分为两个部分,第一部分包括前两章,研究离散分形;第二部分包括后两章,研究Z_2对称分岔理论和单状态变量局部分岔问题中的内蕴理想和内蕴子模。 本文第一章的目的是在欧几里得格和欧几里得空间中,对无界集合的离散分形指标的定义和性质作较系统的研究。在第1.1节中,我们给出了欧几里得空间R~d中集合A生成的Z一集φ(A)和胖集(?)的概念,然后在第1.2节中给出欧几里得空间中上、下离散质量维数(?)im_(LM)(A)和(?)im_(UM)(A)的概念并由定理1.2.1得到如下结果:且 第1.3~1.4节在R~d中给出了离散Hausdorff维数、离散填充维数等若干离散分形指标的概念,并由定理1.3.1~定理1.4.11得到欧几里得空间中离散分形指标的内蕴关系式:其中A(?)Z~d,m∈P且m≥2,(上述等式中的共值分别被表示为dim_H(A),dim_L(A),dim_P(A),A(A)和δ(A))并且(其中和分别表示, 在第1.5节中,本文以m-方体和sm方体为基本概念,将M.T.Bariow和S.J. Taylor的结果(见文献[20])进行推广,并在欧几里得格中得到密度引理和Frostman 引理的离散型。定理1.5.1和1.5.2作为本节的主要结果为欧几里得格中离散分形指 标的计算提供了有效的工具。作为应用,第1.6节讨论了别中的两个例子。 第1.7节的目的是为Z“中离散填充维数定义的可行性作理论上的探讨。定理 1.7,1事实上给出了Z才中离散填充维数的一个等价定义: 定理1.7.2证明了对,存在某正数,使得 并 证得对和定理1.7.3和1.7.4证得, 对于Zd中任意非空集合A,有 在本文第二章中,我们将经典分形理论中自相似性的思想引人欧几里得格z甘中. 结果表明,上、下离散质量维数,离散Hausdorff维数,离散填充维数等,具有线性不变 性质,也即对 在本文第三章中,文献[23-27]给出的Z:对称奇点理论中的几个结果被推广。定 理3 .2. 表明,如果中分岔问题 等价,那么 定理3.2.2表明,如果g(x,又),h(x,孟)同上且‘。J‘琳(g,Z:)+co,那么ItrT(g, 22)=ItrT(h,22). 定理3.3.1给出了计算Z:分叉问题中Z:一余维数的计算公式, codi脚(g,Z:)=dt.m(ItrT(g,Z:))一J‘娜V(g,Z:) 其中v(g,Z:)~(ItrT(g,Z:))上门T(g,Z:)=J(丁(g,Z:)),J:‘二.‘(Z:)一(ItrT(g, 一月卜-扣 22))上是由省,,‘(22)到(ItrT(g,Z:))J-的投影,并满足对Vf(x)~x,(u,人)e了二.‘(22), ·“f,(X,‘,一{恩六‘DaS‘。,。,,一”),其中‘一“一,,al是非负整数,‘一‘,2, ‘:2·,+‘又·:去Itr了(g,22)}, 内蕴理想是规范型分类问题和普适开折识别问题中的基本工具之一(见文献[22 ~38〕),因此给出最大的内蕴理想的方便有效的计算方法是有意义的工作。 第4.1节说明了,.:中具有有限余维数的理想夕是由截.‘中有限多个单项式和可 能存在的有限多个多项式生成的.因此,最大内班理想Itr了的计算问题可归结为计 算由单项式生成的理想中的最大内组理想的问题。 设者二*中具有有限余维数的理想.夕.由武,:中单项式生成,则可设 夕一=“气矛:,“.:矛:,…,u气At,? 其中k、,l,任Z使得k,Z?:一:k:=0=l,12…l卜,l,,(i=1,2,…,:). 定理4.乙4给出了最大内蕴理想的计算公式: hrj了=丫亡+衅g一‘劝…+r自一l.一:矛一,?矛 其中m厂一max{k;+l‘+1一1 11~j,j+1,…,s一1},j=1,2,…,s一1. 作为定理4.2.4的应用,定理4.2.5和4.2.6给出了关于内组理想的两个充分必 要条件。同样作为定理4.2.4的应用,第4.3节中定理4.3.2给出,如果萝~夕{x}是 芬二,*(z2)中具有有限的22一余维数的子模,那么Itr(梦,z:)一(Itr了)、二}当且仅当 hr雳由夕中所有单项式生成。 Golubitsky的书(见[25])表明若梦是奢二.‘(z:)中具有有限z:一余维数的子模, 梦=了{x},那么ltr(夕,22)=(Itr了)毛x}。显然,由定理4.3.2知,该结论是错误的。 在文章的最后给出了一个反例.
【学位授予单位】:首都师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2004
【分类号】:O182

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