混合有限元的保辛及保多辛结构性质

【摘要】：我们知道有限元方法以及辛算法和多辛算法是解偏微分方程数值解的重要方法。这篇论文致力于研究两者之间的联系。 哈密顿系统最重要的性质是庞加莱-列维尔的一系列相面积的守恒，即系统的相流是一个单参数的保辛变换。在用数值方法求解这些系统时，我们希望能保持这一属性，此类方法称为辛算法。 在离散力学和场论中，离散变分是非常重要的方法，尤其是对哈密顿形式。最近，差分离散变分被应用于离散的拉格朗日系统和哈密顿系统，两者是由离散的(协变)勒让得变换进行转换。类似，对于混合有限元格式，是否也存在某种辛和多辛结构，这是本文研究的重点问题。 本文在介绍一维和二维非线性椭圆方程混合有限元离散变分后，进一步利用作用函数的哈密顿原理和外微分的幂零性，得到了一类特殊方程的混合有限元离散格式以及保辛和多辛结构的性质。而且我们还进一步证明了混合有限元保辛(多辛)结构的充要条件是相应的1—形式是闭的，而不要求系统在运动方程的解空间里。