公共不动点及其相关的最佳逼近问题

【摘要】：众所周知，不动点理论渗透到数学的多个领域，并被广泛应用于各种问题的研究中，作为不动点理论的延伸和推广，映射对(或映射族)的公共不动点受到广泛重视，并成为十分活跃的领域，特别是满足交换条件的映射对(或映射族)情形已取得较丰富和系统的结果，为了研究非交换映射对的问题，人们提出了弱交换，R-弱交换，相容映射等概念及其相应的非交换映射类，并取得了一定的进展，但是由于工具和技术上的原因，与关于交换映射(对)的成果相比，关于非交换映射需要深入研究的问题还很多，尤其是如何引入更广泛的非交换映射类并确定相应的公共不动点的存在性，在理论和应用上都具有十分重要的意义。 不动点和公共不动点定理的一个重要应用是证明不动点(元)或公共不动点(元)在给定逼近集中具有不动点性质的最佳逼近元的存在性。1964年，Meinardus利用Schauder不动点定理证明了函数的某种特殊性质可以传递给它的最佳逼近元，人们称之为“不变逼近”。此后，关于不动点(或公共不动点)最佳逼近的研究成为备受关注的课题，该课题对于非严格凸空间具有更突出的价值。 本文将深入系统研究非交换映射(对)的公共不动点及其相关的最佳逼近问题，主要研究问题和研究成果有如下四个方面： 一、提出了弱C交换和渐进弱C交换的概念，在对弱C交换映射(对)建立了压缩型公共不动点定理的基础上，分别在紧致和弱紧致前提下，对渐进弱C交换映射(对)证明了非扩张型公共不动点的存在性定理。弱C交换和渐进弱C交换本质上涵盖了以往几乎所有的“非交换”类型，因此本文结论推广和涵盖了大部分已知的关于“非交换”映射(对)的公共不动点的结果。 二、提出了弱F交换映射(对)的概念，这是与以往的非交换映射完全不同(互不包含)的非交换类型。文中首先利用弱F交换和F-凸映射将经典的Tychonoff不动点定理和Markov不动点定理统一为一个定理，随后建立了一系列关于弱F交换映射(对)的非扩张型公共不动点的存在性定理，以往的定理中都要求其中一个映射是线性或仿射的，但是本文关于弱F交换映射(对)的结论，只需要求F-凸性假设，本质上减弱了定理的条件，这说明弱F交换的概念在非交换映射(对)的