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一类趋化性交错扩散方程组解的存在性

曲风龙  
【摘要】:我们研究的趋化性(Chemotaxis)生物模型为: 我们研究了这个方程组在不同空间下解的局部存在性和不同情形下解的整体存在性。 (1) 局部存在性 在L~∞(Ω)×W~(1,q)(Ω)空间中用压缩映射原理证明了方程组解的局部存在性。在Hilbet空间中仿照Yagai,Mimura的证明用Galerkin方法证明了方程组解的局部存在性。 (2) 整体存在性 整体存在性一直是Chemotaxis模型的一个难点。对于低维情形,尤其是n=1已经有很多文章证明了整体解的存在性。而对于高维的研究近年来是Chemotaxis模型的一个热点问题。对于X(v)=v,F(u,v)=0,G(u,v)=-v+u的情形,2004年Dirk Horstmann和Michael Winkler在f(u)≤cu~α,u≥1,0<α<2/n的条件下,证明了解的整体存在性和一致有界性。他们要求u_0∈C~0(Ω),f(u)∈C~(1+θ)[0,∞),从而保证了u<1时,有一致Lipschitz条件,即避免了在零点出现奇性。本文的条件是f(u)≤cu~α,u≥0,0<α<1,即f(u)在零点有奇性。并且u_0∈L~∞o(Ω),从而不能假设f(u)∈C~(1+θ)[0,∞),但是要求u_0>α_0>0。这样通过局部存在性的证明说明特殊形式的弱解为古典解。在已知(?)||u(t)||L_(po)(Ω)≤C_0,其中po/r>n/2-2ε,ε>0的假设下,证明了解的整体存在性,但有界性估计与时间(T)有关。另外本文还考虑了奇性在X(v)(即X(v)=ln v)上的情形。这时,只要假设初值0≤u_0,0<v_0就可以通过凸函数方法证明v(x,t)有一个与时间(t)有关的下界,这个证明仿照Yagai,Mimura的证明方法。从而运用相关的半群理论及各种内差不等式证明了解的整体存在性,但有界性估计与时间(T)有


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