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雅克比级数与函数的光滑性

李凯  
【摘要】:本文的目的是利用Jacobi(雅克比)级数的Poisson积分在边界处的渐近性态来刻划函数的光滑性。 与Jacobi级数有关的函数理论是数学中的一个重要领域,相关问题的研究已取得了一些成果。一方面,其中的大部分问题是经典函数理论的广泛推广,另一方面,在一些特殊参数下的模型又与李群和对称空间上的分析问题密切相关。但是,与经典Fourier分析相比,Jacobi级数理论中还有许多本质的问题有待探讨和研究;但由于Jacobi多项式的许多基本性质比三角多项式复杂得多,例如,各种有限求和,振荡性,Poisson核与卷积运算的复杂性等等,开展这一领域的研究会遇到许多实质性困难。同时,由于Jacobi多项式参数变化的多样性,会出现一些周期情况下难以发现的现象,得到某些新型的结果。 在经典Fourier级数理论中,一类著名的结果是利用Poisson积分在边界处的渐近性态来刻划函数的光滑性,被称之为Hardy-Littlewood和Zygmund理论。本文研究关于Jacobi级数的Hardy-Littlewood和Zygmund理论,将关于经典Poisson积分和函数光滑性特征的一些结论推广到一般Jacobi级数的情况,其中函数的光滑性是借助于广义平移算子T_(t_2)和广义差分算子(?)_(t_2)来描述的。 文中首先在第二节中给出了Jacobi-Poisson积分的一些估计式,以及共轭Jacobi-Poisson积分和Jacobi-Poisson积分的范数在靠近边界时渐近依赖关系;在第三节中,利用Jacobi多项式的特征微分算子D_(α,β)对Jacobi-Poisson积分的作用给出了按照广义平移T_(t_2)f描述的Lipshitz函数的特征刻划;在第四节中,利用Jacobi-Poisson积分的一阶导数给出了按照广义差分(?)_(t_2)f描述的Lipshitz函数的特征刻划。由于以(α,β)为参数的Jacobi多项式一阶导数成为相应于新的参数(α+1,β+1)的多项式,为克服由此带来的困难,在第四节定义了一个新的算子(?)_(t_2)。 本文的研究充分利用了Jacobi多项式和超几何级数的的一些深刻性质,进一步说明了广义平移算子T_(t_2)和广义差分算子(?)_(t_2)在Jacobi级数和相关函数论问题的研究中的重要性。


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