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《首都师范大学》 2009年
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Dunkl理论中的广义Radon变换

宋福陶  
【摘要】: Radon变换是调和分析和积分几何领域中的重要课题,它与Fourier变换、Laplace算子和球面调和函数有着密切的联系,使得调和分析方法很自然地用到对Radon变换的研究中。Radon变换与数学中的其它分支也有着密切联系,比如,它可以用来解决偏微分方程的求解问题,也是研究具有某种不变性的几何体的工具,微局部分析被用于Radon变换的支集的刻划,小波分析被用于Radon变换的反演等。Radon变换在应用领域中也占有重要地位,它是数学工具在应用领域直接发挥作用的典范。Cormack和Hounsfield把Radon变换成功应用到CT技术中,为此他们于1979年共同获得了诺贝尔医学奖。CT技术在医疗、热电和光电成像、雷达和声纳等领域发挥着重要作用。 Dunkl理论是近二十年来发展起来的一个新的领域,其内容包括与反射对称有关的多元特殊函数和与根系有关的广义Fourier变换。它是多个数学分支的交叉领域,特别是与根系、Weyl群和Hecke代数有深刻的联系;数学物理中描述量子动力系统的Calogero-Moser-Sutherland模型可以解释为关于对称群的Dunkl算子。 本文的主要目的是研究Dunkl理论中的Radon变换(称为Dunkl-Radon变换),取得了一系列的研究成果,并将其应用于与h-Laplace算子△_h相应的波方程的Cauchy问题和带有微分—反射运算的一般微分算子的研究。Dunkl-Radon变换与Dunkl变换、h-调和函数、有理Dunkl算子和h-Laplace算子有着自然并且很密切的联系。 尽管不像经典Radon变换及其在欧氏空间上的其他推广那样有明显的几何解释,但是Dunkl-Radon变换自身却有着良好的分析性质,激励我们对它进行系统的研究。下面是本文的主要研究成果: 一、我们首先研究了Dunkl理论中某些工具的L_K~p-表示,用细致而明确的方式给出了这些算子在L_K~p(R~d)或L_K~p(S~(d-1))上的延拓。其中问题的关键在于Lebesgue可测函数或者L_K~p(R~d)中的函数在这些算子或运算的表示测度下不一定是可测的或者可积的。这项工作对于相关的调和分析甚至对L_K~p意义下的Radon变换的研究都是非常重要的,也是必要的。特别地,我们证明了球面平均算子M_f(·,t)在所有L_K~p(R~d)(1≤p∞)空间中的有界性,大大改进了Thangavelu和Xu的当(?)p2λ+3时的有界性结果。 二、我们以适当的方式给出了Dunkl-Radon变换R_K及其对偶变换的定义,研究了Dunkl-Radon变换的基本性质,特别是它与Dunkl变换、Dunkl算子等的关系;证明了Dunkl-Radon变换的一个基本的支集定理等,特别证明了Dunkl-Radon变换及其对偶变换对Dunkl意义下的球面对称函数的不变性质。 三、我们通过建立Dunkl-Radon变换的混合范数估计和关于Dunkl-Riesz位势I_K~δ的Hardy-Littlewood-Sobolev定理,证明了Dunkl-Radon变换在L_K~p(R~d)中的Fuglede公式,这是不同于其它文献中所用的方法,并由此得到Dunkl-Radon变换对L_K~1(R~d)中满足一定条件的函数的逆公式。我们还利用Dunkl-Radon变换讨论了方程(?)a_j△_h~ju=f和与h-Laplace算子△_h相应的广义波方程的Cauchy问题。 四、我们研究了Dunkl-Radon变换的奇异值分解。通过把函数在Dunkl-Radon变换下的象函数按照由Gegenbauer多项式和h-球面调和函数的乘积构成的正交系展开;然后利用在S~(d-1)×R上关于测度(1-s~2)~((?)-v)dsw_K(ω)dσ(ω)的平方可积空间的基底给出Dunkl-Radon变换的逆变换公式,由此建立了Dunkl-Radon变换的奇异值分解。 五、我们给出了球面上Dunkl-Radon变换的适当定义,它是经典情形下球面Radon变换关于有限反射不变测度的一种推广,借助于h-球调和函数的性质得到它的某些基本性质,并通过球面上的Dunkl-Riesz位势、Dunkl算子和适当的小波变换,得到了球面Dunkl-Radon变换的逆公式。 六、对于平面上的偶函数定义了一个广义Radon变换R_(α,β)。我们系统研究了广义Radon变换R_(α,β)及其对偶变换R_(α,β)~*,特别是对L_(α,β)~p(R_+~2)中的函数,得到了广义Radon变换R_(α,β)的一般Fuglede公式和一些逆公式,这些公式用到了双变量的Hankel-Riesz位势。关于双变量的Hankel-Riesz位势的逆定理,所用方法对1p2λ/δ和p=1给出了统一处理,这不同于其它文献中的做法。广义Radon变换R_(α,β)被用于一类偏微分方程Lu:=(?)a_j△_(α,β)~ju=f和对应于算子△_(α,β)的广义波方程的解的表达。利用R_(α,β)的一个对称性质,我们得到了Jacobi多项式的一个新的乘积公式,这是一个有独立意义的结果。
【学位授予单位】:首都师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O174.2

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1 徐茂林;透射及散射断层成像中若干反演算法的研究[D];浙江大学;2004年
2 刘丽敏;有限反射不变测度下的调和分析[D];首都师范大学;2004年
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3 刘沛;乘积Laguerre超群上的广义小波变换及Radon逆变换[D];广州大学;2007年
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1 宋福陶;Dunkl理论中的广义Radon变换[D];首都师范大学;2009年
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