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《中央民族大学》 2007年
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一类次二次Lagrange系统的多重周期解

张卫杰  
【摘要】: 一类次二次Lagrange系统的多重周期解 哈密顿系统理论是既经典又现代的研究领域,可以从不同的角度进行研究,变分法便是其中之一。哈密顿系统是具有变分结构的系统,求哈密顿系统的解可以转化为寻找其对应泛函的临界点。正因为如此,哈密顿系统的研究与最近20多年来飞速发展的大范围变分理论即临界点理论相结合,取得了巨大进展。尤其是在应用变分方法寻找哈密顿系统的周期解、同宿轨道解、异宿轨道解等方面,取得了许多非常深刻的结果。 本论文主要研究一类较二阶哈密顿系统更一般的方程的多重T—周期解q=q(t)。这类方程称为Lagrange系统。其中L表示Lagrange位势函数: L(t,q,ξ)=1/2sum from i,j=1 to nα_(ij)(q)ξ_iξ_j-V(t,q),q,ξ∈R~n,t∈R α_(ij)(q)∈C(R~n,R) (i,j=1,…,n) V(t,q)是R~(n+1)上的实值函数。若α_(ij)(q)≡1,则方程(L_1)即化为通常的二阶哈密顿系统。 在这里我们主要研究,(L_1)中的V在无穷远处是次二次,即(V(t,q)/|q|~2)→0,(|q|→∞)时其多重周期解的存在性。我们的主要结果是 定理1.假设α_(ij)满足条件: (A)存在常数μ_1>0,μ_2>0使得 μ_1|ξ|~2≤(α(q)ξ,ξ)≤μ_2|ξ|~2,q∈R~n,ξ∈R~n。 V(t,q)与t无关,简单记为V(q),满足下列条件: 存在正常数M,r_1,r_2,ε使得 (V_1)|V′(q)|≤φ_1(|q|),|q|>r_1,q∈R~n。 (V_2)V(q)≥φ_2(|q|)-M,Q∈R~n。 (V_3)V(q)-1/2(q,V′(q))_(R~n)≥φ_1~(1+ε)(|q|),|q|>r_2。其中φ_1,φ_2∈C(R~+,R~+),且满足下列条件: (ⅰ)φ_1(x)/x→0,x→+∞且φ_1是增加的; (ⅱ)φ_2(x)→+∞,|x|→∞; (ⅲ)φ_2(x)/φ_1~(1+ε)→+,|x|→∞; (ⅳ)φ_1~(1+ε)(x)是Lipschitz连续的; (V_4)存在β∈(0,2)使得α′(q)q+βα(q)≥0,(?)_q∈R~n; (V_5)V(q)=0是V的最小值,V′(q)≠0,对任意的q≠0; (V_6)α_(ij)(q),V(q)在原点是二次可微的,V″(0)的特征值都是正的; 对任意的k∈N,令T(k)=2π[(k~2+1)v/λ]~(1/2),其中v是{α_(ij)(0))的最大特征值,λ是V″(0)的最小特征值。那么,对任意T>T(k),问题(L_1)存在至少nk个不同的T—周期解。 发现问题(L_1)的多重周期解可化为寻找泛函 f(q)=integral from n=0 to T L(t,q,(?))dt=1/2integral from n=0 to T (α(q)(?),(?))dt-integral from n=0 to T V(t,q)dt,q=q(t)∈H_T~1在空间H_T~1上的临界点。 定理2.如果L满足条件(A)及(V_1)~(V_4),g∈L~2(R,R~n)是T—周期函数,那么对任意T>0,受迫的Lagrange系统至少存在一个非常数的T—周期解。 在这里我们将主要运用临界点理论证明上述结果。
【学位授予单位】:中央民族大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O316

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