一类次二次Lagrange系统的多重周期解

【摘要】： 一类次二次Lagrange系统的多重周期解 哈密顿系统理论是既经典又现代的研究领域，可以从不同的角度进行研究，变分法便是其中之一。哈密顿系统是具有变分结构的系统，求哈密顿系统的解可以转化为寻找其对应泛函的临界点。正因为如此，哈密顿系统的研究与最近20多年来飞速发展的大范围变分理论即临界点理论相结合，取得了巨大进展。尤其是在应用变分方法寻找哈密顿系统的周期解、同宿轨道解、异宿轨道解等方面，取得了许多非常深刻的结果。 本论文主要研究一类较二阶哈密顿系统更一般的方程的多重T—周期解q=q(t)。这类方程称为Lagrange系统。其中L表示Lagrange位势函数： L(t，q，ξ)=1/2sum from i，j=1 to nα_(ij)(q)ξ_iξ_j-V(t，q)，q，ξ∈R~n，t∈R α_(ij)(q)∈C(R~n，R) (i，j=1，…，n) V(t，q)是R~(n+1)上的实值函数。若α_(ij)(q)≡1，则方程(L_1)即化为通常的二阶哈密顿系统。 在这里我们主要研究，(L_1)中的V在无穷远处是次二次，即(V(t，q)/|q|~2)→0，(|q|→∞)时其多重周期解的存在性。我们的主要结果是 定理1．假设α_(ij)满足条件： (A)存在常数μ_1＞0，μ_2＞0使得 μ_1|ξ|~2≤(α(q)ξ，ξ)≤μ_2|ξ|~2，q∈R~n，ξ∈R~n。 V(t，q)与t无关，简单记为V(q)，满足下列条件： 存在正常数M，r_1，r_2，ε使得 (V_1)|V′(q)|≤φ_1(|q|)，|q|＞r_1，q∈R~n。 (V_2)V(q)≥φ_2(|q|)-M，Q∈R~n。 (V_3)V(q)-1/2(q，V′(q))_(R~n)≥φ_1~(1+ε)(|q|)，|q|＞r_2。其中φ_1，φ_2∈C(R~+，R~+)，且满足下列条件： (ⅰ)φ_1(x)/x→0，x→+∞且φ_1是增加的； (ⅱ)φ_2(x)→+∞，|x|→∞； (ⅲ)φ_2(x)/φ_1~(1+ε)→+，|x|→∞； (ⅳ)φ_1~(1+ε)(x)是Lipschitz连续的； (V_4)存在β∈(0，2)使得α′(q)q+βα(q)≥0，(?)_q∈R~n； (V_5)V(q)=0是V的最小值，V′(q)≠0，对任意的q≠0； (V_6)α_(ij)(q)，V(q)在原点是二次可微的，V″(0)的特征值都是正的； 对任意的k∈N，令T(k)=2π[(k~2+1)v/λ]~(1/2)，其中v是{α_(ij)(0))的最大特征值，λ是V″(0)的最小特征值。那么，对任意T＞T(k)，问题(L_1)存在至少nk个不同的T—周期解。 发现问题(L_1)的多重周期解可化为寻找泛函 f(q)=integral from n=0 to T L(t，q，(?))dt=1/2integral from n=0 to T (α(q)(?)，(?))dt-integral from n=0 to T V(t，q)dt，q=q(t)∈H_T~1在空间H_T~1上的临界点。 定理2．如果L满足条件(A)及(V_1)～(V_4)，g∈L~2(R，R~n)是T—周期函数，那么对任意T＞0，受迫的Lagrange系统至少存在一个非常数的T—周期解。 在这里我们将主要运用临界点理论证明上述结果。

【学位授予单位】：中央民族大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2007
【分类号】：O316