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拟阵结构

陈容  
【摘要】:设s是一些拟阵构成的集合,M是任一拟阵。如果M(?)S的任一子式却属于S,则称M是S的一个excluded minor。设q为任一素数幂,L(q)表示所有GF(q)可表示拟阵的集合。Rota猜测L(q)的excluded minor个数是有限的;目前仅知它对q=2,3,4成立。进攻Rota猜想,最主要的障碍是3连通拟阵在大多数有限域上存在不等价表示。Kahn猜测3连通拟阵在给定有限域上不等价表示的个数应是有限的。非常遗憾的是对元素个数≥7的有限域,该猜想不成立(Oxley等,J.Combin Theory Ser. B67:325-343,1996).Oxley等用来反证Kahn猜想的拟阵有很多相互交叉的3-separation。因此,对于3连通拟阵,不可能存在类似于1连通和2连通拟阵那样的分解(Cunningham和Edmonds, Canada. J.Math 32:734-765,1980);但这些(反例)拟阵也促使拟阵专家猜测:若把Kahn猜想中的3连通度适当提高的话,Kahn猜想的结论应成立。对素数阶有限域,如果把连通度提高到4连通的话,Geelen等证明了Kahn猜想的结论成立。(该论文目前还在整理过程中。)在尝试着把该结论推广到非素数阶有限域的过程中,Geelen等人沮丧地发现存在一类4连通拟阵,在元素个数≥9的非素数阶有限域上,存在任意多个不等价表示。 在第2章,我们证明在运算reducing下,任意元素个数大于等于9的3连通可表示拟阵可以分解成一系列的序列4连通拟阵及三类特殊的拟阵(freely-placed-line拟阵、spike-like拟阵和swirl-like拟阵),且这些拟阵的关联关系呈树样的结构。 4连通度是个很强的概念,如不含二类结构很好的拟阵M(Kn和PG(r-l,Pn),没有类似于3连通拟阵和序列4连通拟阵的Tutte's Wheels and Whirls Theorem(该定理确保了在大多数情况下,可以使用数学归纳法)。鉴于Geelen等人的最新结果,我们希望对任一素数有限域,序列4连通拟阵在该域上的不等价表示个数有限。 为更好地理解3连通拟阵的不等价表示,Geelen等定义了完全自由拟阵(Geelen等,J.Combin Theory Ser. B 84:130-179,2002)。3连通拟阵的不等价表示个数可由其任意一个完全自由子式控制。在第3章,我们证明完全自由拟阵在segment-cosegment和cosegment-segment变换下是封闭的。 设U(q)是所有不含子式U2,q+2的拟阵集合。因为U2,q+2是L(q)的一个ex-cluded minor,所以L(q)的所有其它excluded minor都属于U(q)。因此,研究清楚U(q)中拟阵的结构,对Rota猜想的解决可能会有所帮助。一个自然的问题是:U(q)中的极值拟阵结构如何(这里的极值拟阵可粗略地理解为U(q)中的最大拟阵)?设整数l≥2,M1和M2是U(l)的二个极值拟阵,M是M1和M2的amalgam(可粗略地理解为把M1和M2相同的部分“粘”在一起后得到的拟阵)。第4章研究如下二个问题:在什么条件下M仍属于U(l),在什么条件下M仍是U(l)的一个极值拟阵。我们得到了相应的充要条件。


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