随机图的能量和Laplacian能量

【摘要】：众所周知,图论在物理、化学等领域有着广泛的应用。本文中,我们研究的是图的一个代数不变量——图能量,我们可以用它估计共轭烃中π-电子的总能量。 设G是n阶的无向简单图。我们用A(G)表示图G的邻接矩阵,而A(G)的特征值λ1...,λn被称作是G的特征值。上世纪30年代,Erich Huckel提出了一种对共轭烃的Schrodinge方程求近似解的方法,这一方法也可以用来估计共轭烃中π-电子的分子轨道能级,并计算π-电子的总能量。20世纪70年代,Gutman发现,计算该能量的表达式中非平凡的部分等于∑i=1n|Xi|其中(?)...,(?)是图G'的特征值,这里的G'对应于某个共轭烃的碳原子骨架图。于是,Gutman便将能量的概念推广到所有简单图,他定义简单图G的能量为ε(G)=∑i=1n|λi|,其中λ1...,λn是G特征值。 显然,如果我们能计算出一个图的特征值,我们就能立刻知道它的能量。但计算大规模矩阵的特征值是非常困难的,即使对于象邻接矩阵A(G)这样的(0,1)-对称矩阵也是十分困难的。于是,许多研究者便对某些图类建立了很多能量的上、下界来估计这一不变量。然而,这些界有个共同的缺陷,即仅有很少的图达到这些界。因此,我们就很难看出对大多数图而言,ε(G)有怎样的性质(比如,对大多数图而言ε(G)和|V(G)|有怎样的关系)。 但令人惊讶的是,我们可以借助一些概率和代数方法对几乎所有的图给出ε(G)的准确估计。在第二章中,我们首先研究了随机图Gn(p)的能量,其中Gn(p)∈(?)n(p),而(?)(p)表示Erdos-Renyi随机图模型；并且证明几乎所有的图Gn(p)都满足如下等式接下来,我们又对Erdos-Renyi随机图模型的推广模型——随机多部图的能量进行了研究。设Kn;v1,...,vm为完全m-部图,其顶点集合[n]：={1,...,n}被划分成m个部分V1,...,Vm(m=m(n)≥2),并且|Vi|=nvi=nvi(n),i=1,...,m。设(?)n;v1...vm(p)是顶点集为[n]的随机m-部图的集合,该集合所含图的边集是以概率p独立的从Kn;v1,...,vm的边集中选取。又设(?)n,m(p)和(?)'n,m(p)是随机m-部图的集合,它们分别满足如下条件：且在2.2节中,我们将证明几乎每一个随机图Gn,m(p)∈(?)n,m(p)和G'n,m(p)∈(?)'n,m(p)都满足以下关系：最后,我们考察了满足下列条件的随机多部图Gn;v1...vm(p)的能量且存在vi和vj使得并证明几乎每一个随机图Gn;v1..vm(p)都满足以下不等式其中r是一个整数,满足|V1|,...,|Vr|的阶为O(n)而|Vr+1|,...,|Vm|的阶为o(n)。 在图谱理论中,矩阵L(G)=D(G)-A(G)被称作图G的Laplacian矩阵,这里的D(G)是一个对角矩阵,其中dii等于顶点vi的度dG(vi),i= 1,...,n.Gutman等人近来对简单图G,引入了一类新矩阵其中In是n阶单位阵。而且,他们还对G定义了所谓Laplacian能量：这里的ζ1,...ζn是矩阵(?)(G)的特征值。最近,Gutman等人又对图的Laplacian能量提出了一个猜想,即对任何简单图G有不幸的是,这一猜想很快便被否定了。事实上,柳泊濂老师与他的合作者,以及Stevanovic等人分别构造出了两类图,它们都不满足上述猜想。但是So等人证明,对二部图而言,上述猜想是正确的。在第三章中,我们将给出了随机图Laplacian能量的估计,并证明几乎每一个随机图Gn(p)∈(?)n(P)都满足如下不等式借助上述估计,我们便能证明Gutman等人的上述猜想对几乎所有的图都是对的。 最近一个时期,有些研究者又定义了其它一些与图能量相类似的不变量。例如,无符号的Laplacian能量,类Laplacian能量不变量,关联能量、距离能量和冯·诺依曼熵。这些不变量已经在数学、数学化学或数学物理文献中被广泛研究。在最后一章中,我们将利用刻画能量和Laplacian能量的办法对上述不变量给出相应的估计。