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B型集合分拆的组合性质研究

王国亮  
【摘要】:集合分拆是组合学中的经典和广泛的研究对象之一,它主要针对一个集合的分拆的各种组合结构进行考察和研究。在过去,人们关心具有特殊组合性质的集合分拆,考虑其计数、集合分拆的格结构,以及定义在集合分拆上的一些统计量的分布情况等等。 1995年,代数组合学家Reiner最先研究B型集合分拆。他当时的工作主要是关于非交集合分拆的格结构的B型模拟。然而,B型集合分拆自身的研究,包括各种特殊的B型集合分拆的计数、块数的渐近分布、分拆的极小相交等性质,几乎没有被关注。这篇论文填补这些空白,同时对经典集合分拆的一些优美性质做B型模拟,其难点主要在于对B型集合分拆的组合结构的深入理解,和对各种变量进行创造性的B型模拟。 这篇论文编排如下。在第一章中我们简介经典集合分拆研究的发展,并简单回顾B型集合分拆的近期进展。第二章主要介绍B型集合分拆的基本的计数结果和组合性质。特别地,我们给出无零块B型集合分拆个数的多种表达式。该个数在对B型分拆的组合性质的研究中扮演重要角色。 在随后的两章中,我们研究B型集合分拆的子块对的个数的渐近性质。我们在第三章给出子块对个数的期望与方差的准确表达式,并利用复分析知识给出它们的渐近表达式。同时我们也对无零块的B型分拆做类似研究。这些表达式都是新结果。在第四章中我们证明,不论考虑全部B型分拆还是无零块B型分拆,其子块对的个数的极限分布都是正态的。这些也都是新结果。我们证明极限正态分布主要基于一个已有的判别准则。简单地说,如果随机变量的方差趋近于无穷大,而相应的生成多项式只有实数根,则其极限分布正态。前者我们在第三章中已验证,后者借助第二章中给出的递归关系式可以证明。 论文的第五章考察集合分拆的极小相交性。我们给出一个公式计数极小相交的B型集合分拆的r元有序组,同时也对无零块B型集合分拆做类似研究。这些公式都是新结果,它们可以被看做是Pittel对经典集合分拆所做的计数公式的B型模拟。然而,研究B型集合分拆时,其组合设置相对于研究经典分拆中的设置来说更加复杂。特别地,我们得到Benoumhani公式的一个新证明,这个公式是经典的Dobinski公式的B型模拟。 在第六章,我们介绍集合分拆中单点和邻对的对称分布结果。Callan曾对此给出一个美妙的组合算法,它诱导出该对称性的对合证明。我们试图探索B型分拆是否具有类似漂亮的对称性质。为此,我们在B型分拆中合理定义单点对和邻点对的概念,并证明无零块B型分拆中单点对和邻点对的对称分布性。特别地,我们得到Bernhart定理的B型模拟。 论文最后包含两个附录。附录A由一些有关数学分析的引理构成,它们在第二章和第三章中会被用到;在附录B中我们给出Hayman定理的一个简明介绍,借助Hayman定理我们能够快速推导第三章中一个渐近公式的弱化结果。


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