超八面体群上的相关错排与集合分拆

【摘要】：这篇论文的主要结果是讨论超八面体群Bn上的错排与集合分拆的一些组合性质。错排和集合分拆是组合数学中两个重要的研究对象。组合届的很多学者都将两者在对称群Sn上的性质推广到了超八面体群Bn上。本论文由两部分组成,第一部分研究了Bn上的相关错排与错排的关系,并给出了这个关系的组合证明。第二部分研究了Bn上的集合分拆,我们构造了一个新的统计量,并给出了这个统计量的生成函数。 在第一章中,我们给出了超八面体群上的错排和集合分拆问题的演变背景,并介绍了本论文中用到的定义和记号。 在第二章中,我们回顾了一些关于错排和集合分拆的重要结论,包括由Foata和韩国牛[33]提出的Bn上字的基本变换、对称群Sn上的相关错排和斜错排以及对称群上集合分拆的pmaj统计量。 第三章是文章的第一部分。在这一章里,我们主要研究了超八面体群上的相关错排和错排的关系,并且给出了组合证明。我们在Bn这个群上构造了一个新的错排,称之为Bn上的斜错排,或者带符号的斜错排。通过构造一个双射,我们证明在Bn上,任何一个相关错排都对应着一个斜错排。之后,我们证明在Bn上每个斜错排都能转换成错排的形式。这样,通过这个中间量——带符号的斜错排,我们就证明了超八面体群上相关错排和错排的关系。 第四章是本文的第二部分。我们主要研究了超八面体群上的集合分拆。通过定义Bn上集合分拆的图表示,我们构造了一个关于Bn上的集合分拆的统计量pfmaj,并且给出了该统计量的生成函数。然后我们在图表示的基础上定义了B形式的2交叉数,并且证明2交叉数与pfmaj这两个统计量在集合蹭(S,T)上是同分布的。