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算符代数方法在量子力学模型中的应用

王雪红  
【摘要】:本文主要研究算符代数方法在量子力学模型中的应用。算符代数方法是量子力学的一个十分重要和有用的工具。借助于它人们可以直接精确求解物理系统的能级和波函数,而不用去直接求解通常二阶微分的薛定谔方程。算符代数方法一般涉及升降算符,其大致分为两种:第一种直接叫作升降算符代数方法;第二种是因式分解方法,即所谓的超对称量子力学方法。 精确可解模型在量子力学中占据十分重要的地位。例如,对于一维情形,精确可解势能有一维谐振子势、Po¨schl-Teller势、Morse势等;对于三维情形,精确可解势能有三维谐振子势、氢原子中的库仑势等。这些精确可解系统的能级和波函数已构成现代量子力学课程的重要组成部分。由于这些系统的能级和波函数被精确地知道,人们可以通过它们的一些重要性质来更好地认识物理世界。一般而言,一维精确可解势能的物理体系都拥有一种内在的代数结构,已有文献指出几乎所有一维精确可解势能V (x)的哈密顿量都具有SU(1,1)代数结构,除了一维Morse势的物理体系。在本论文中,首先我们把升降算符代数方法应用到一维Morse势的物理体系,求出体系的升降算符,确定其能谱和波函数,并指出其内在的代数结构是SU(2)代数。其次,我们把升降算符代数方法应用到一维弯曲空间的哈密顿量,由此得出一类更为广泛的一维弯曲空间精确可解模型;我们发现文献中所提出的量子非线性谐振子是我们得到的一系列一维弯曲空间精确可解模型中的一个特例。然后,我们从因式分解方法的角度来研究一维弯曲空间精确可解模型,得到相同的结果;利用赫尔曼-费曼定理我们还讨论了物理体系的维里定理。最后,我们探讨了修正的一维海森堡自旋链模型的能谱结构,讨论了能谱基态的简并情况,以及在外界磁场存在情况下能谱结构的变化。


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