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关于图能量的若干问题的研究

计省进  
【摘要】:在化学中,图论有许多重要应用,特别是图的特征值和共轭碳氢化合物中π-电子的分子轨道能量级之间有着紧密对应。在量子化学理论初期,大多数共轭碳氢化合物的π-电子的总能量E,在休克尔分子轨道近似下,可用下面的公式进行估算这里,λi表示共轭碳氢化合物的分子图G的特征值。注意到,对一般图我们均可定义等式(0.1)的右边。于是,对任一给定的图G,我们可以用上面等式来定义图G的能量。 自1977年著名数学化学家Gutman提出图能量的理论,图能量,特别是图能量中极值图的刻画,已是图论研究的活跃方向之一,并引起了理论化学家和数学家广泛关注。进入新世纪后它更是得到长足地发展,许多重要结论相继被发现。在极值图能量研究中拟序关系“(?)”是一个重要和常用的工具(拟序,即,如果两个图的特征多项式所有对应系数比较时,它们的符号满足一致性,那么我们就称这两个图满足拟序关系。)。但是随着研究的不断深入,出现了大量用拟序关系不能解决的极值能量问题。我们称之为拟序不可比问题。我们充分利用Coulson积分公式,并结合分析、代数和组合方法,成功地解决了一系列这类极值能量问题。 令G为一个具有n个顶点m条边的连通简单图。图G的基本圈数定义为c(G)=m-n+1。通过图的基本圈数,分别称满足条件c(G)=0,1,2或3的图为无圈图(或树)、单圈、双圈和三圈图。 2001年,Gutman和Vidovic提出猜想:如果n≥16和n=14,双圈图中具有极大能量图是图pn6,6pn6,6表示由两个长度为6的圈通过一条Pn-12路连接而成的图。Rn t,t表示长度分别为n—t和t的两个圈通过一条边连接而成的图。2007年,Li和Zhang在二部双圈图中证实了上面的猜想,但是没有排除图Rn-t,t。因为图Rn-t,t和图Pn6,6是拟序不可比的。在2.1.1节,我们完全解决了这一问题。即,图Pn6,6在二部双圈图中具有极大能量。在2.1.2节,关于一般的双圈图,我们进一步研究这个极值能量的公开问题,并在(?)图类中证实了以上猜想。 2008年,Liu等人在图类(?)(n)中得到了极小能量图。但是在拟序不可比的两个图中,他们没能确定哪个具有极小能量。在2.2.1节,我们彻底解决了这个难题。 2008年,Wei考虑了(?)图类中的极值图问题,但是在能量排序中,发现具有第二小能量图是两个拟序不可比的两个图之一。在2.2.2节,我们完全刻画了这个问题,并得到了从第一小到第七小的极值图。 1999年,Caporossi等人提出极小能量图猜想,并证实了在m=n-1和m=2(n—2)时结论成立。对于m=n时,2001年,Hou完全解决了该问题。对于m=n+1时,2005年,Li和Zhang在给定条件下证实了猜想。2008年,Li等人,在二部三圈图的情形讨论了该公开问题,然而他们不能排除若干拟序不可比的图。在第三章我们成功地克服了这一困难。 在第四章,我们将介绍一类单圈图的极小能量图。


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