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《南开大学》 2001年
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NA随机变量的极限定理及风险分析中的若干问题

刘立新  
【摘要】: 本论文主要研究Negative association随机变量的极限定理和风险分析中的若干问 题。 八十年代初Joag-Dev and Proschan(1983),Block,Savits and Shaked(1982)提出了如下 类包含独立随机变量在内的相依随机变量概念: 定义0.1 称随机变量X_1,X_2,…,X_n为Negative association(以下简称NA)的,如 果对于{1,2,…,n}的任何两个不相交的非空子集A_1和A_2都有 Cov(f(X_i,i∈A_1),g(X_j,j∈A_2))≤0。 其中f和g是任何两个使上述协方差存在的且对每个变量均非降(或均非升)的函数; 称随机变量族{X_i,i∈A}是NA族,如果它的任何有限子族X_(t_1),X_(t_2),…,X_(t_n)都是NA 的(n≥2) NA随机变量不仅在多元统计分析,渗透理论和可靠性理论中,而且在许多工程领域 及风险分析中均有较广泛的应用,因此研究NA随机变量的极限性质具有重要意义与应 用价值。 在本论文中我们对不要求强平稳或同分布的NA随机变量列进行了多方面的研究: 首先对NA列建立了一组具有NA特点的关于最大部分和的Fuk-Nagaev型概率不等 式及其关于某一类特定函数的矩不等式,它们在后续给出的极限定理的证明中发挥着重 要作用; 研究了具有不同分布的NA列的强收敛性,如对NA列建立了更一般条件下的Wittmann 型强大数律及完全收敛性,同时也进一步改进了R.Wittmann(1985a)关于实独立随机变 量列的结果,并给出了NA列强大数律成立的若干条件,特别建立了一般NA列对数律 成立的充分必要条件,在二阶矩存在的条件下完整的解决了一般NA列对数律的问题, 中文摘要2 而已有的一些NA列对数律的结果可以由它推出,给出了NA列的Teiclier型强大数律, 表明lbiChCI·(1979)给出的实独立随机变量列的强大数律可以减弱其条件等; 建立厂不问分布NA列的Teicfl仪;Egorov,Petrov型有界重对数律,以及加权同分布 NA列的有界重对数律,进一步推广了NA列的Kolmogory有界重对数律等,特别对NA 列建立了Wittm洲 型有界重对数律,而其证明方法与独立情形有很大不同,同时通过反 例表明在与独立场合类似的条件下,独立列的Wittmann有界重对数律不能完美的推广 到NA歹小惰形; 最后研究了NA随机变量级数的收敛速度,给出了尾和下降的阶;尾和的有界重对 数律,及尾和对数律成立的充要条件等,并通过反例说明 NA随机变量级数与独立随机 变量级数在收敛速度方面存在的差异. 风险分析是保险数学的重要组成部分,本论文中我们研究了索赔次数服从COX过程 的一类风险模型的渐近性质;在一定条件下建立了其弱收敛的充要条件;给出了离散风 险模型的末离时分布及末离前的最大余额的分布,带有利息收入的离散风险模型的若干 联合分布;以及一类具有相依索陪的风险过程的破产概率等.
【学位授予单位】:南开大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2001
【分类号】:O211.5

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