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《南开大学》 2003年
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σ-自动机和低维CA

王超  
【摘要】:细胞自动机(CA)是在平面格点或者图的顶点上按照某种规则进行演化的一种离散动力系统,在许多领域应用广泛。国外对此研究曾一度十分活跃。本文对作用在简单图上的σ-自动机、低维CA的性质、低维CA在图象加密等新领域的应用进行了深入的研究,并得到了一些新的结果。具体来讲,包括以下内容: (1)本文第一章,主要是对图上的σ-自动机进行讨论。在对Calvin提出的树的全一问题解的构造算法进行仔细分析后,通过引入“准全一问题”,我们给出了任意树的解的清晰描述,并利用它计算出树的全一问题解的数目,给出了单圈图的全一问题解的两种构造算法。这些结果是文献[7]的一部分。 在本章后半部分提出了全一问题的两种推广形式:强全色问题和弱全色问题。对于强全色问题我们给出“去3连路”法则,并证明了放射树的强全色问题是有解的。对于弱全色问题我们给出“加叶子”法则,并以此证明了任意树的弱全色问题有解。同时还证明了圈和单圈图的弱全色问题都是有解的,并猜想任意图的弱全色问题有解。特别的,对于树来说,它在Z_3上的弱全色问题可以有一个只包含0和1的解。至于树在Z_m(m≥4)上的弱全色问题以及一般图的弱全色问题是否有这样的解,则作为猜想提出。最后,我们提出k-随机弱全色问题,它与组合数论中的Erd(?)s-Ginzburg-Ziv问题有紧密联系。运用[15,43]的结果,我们部分的解决了k-随机弱全色问题。 (2)本文第二章,总结了低维CA的各种性质以及相互之间的关系。我们对CA的大部分性质,如“单射”、“满射”、“有限单射”、“有限满射”、“无Garden-of-Eden”、“mutually erasable”等进行了汇总并描绘出它们相互之间的关系。注意在这些性质里,前四个性质是最基本的。本章后四节中主要介绍验证一维CA是否具有上述四个基本性质的算法,其中验证“单射”、“满射”的算法出自S. Amoroso和Y. N. Patt,但他们没有给出如何判定“有限满射”的算法,在目前的关于CA的文献中也没有发现有人给出过。本章中我们提出了这个算法,弥补了这个缺憾。最后我们通过计算机算出了所有邻域大小为5以内的具有单射、满射、有限满射等性质的一维CA,并就这些CA的“Wolfram法则数”所具有的一些性质进行了初步分析,见附录A,B,C。 (3)细胞自动机在其概念出现之初,就在物理、化学、生物、医学等方面有着广泛的应用。本文第三章在图象加密领域找到了细胞自动机的新的应用价值,利用低维CA的数学原理,对数字图象进行加密。由于这种加密算法刚刚出现,安全性还有待于时间的考验,但是由于本加密算法具有密钥量大、运算简单、效率高、速度快的优点,在理论上获得证明后,将是很有前途的一种密码算法。
【学位授予单位】:南开大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2003
【分类号】:O29

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