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《南开大学》 2006年
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最小全一问题的解及其算法的研究

张晓岩  
【摘要】:细胞自动机是一种离散动力系统。它包含了由细胞单元的状态构成的配制以及作用在配制上的传递规则。下面我们总是假设G=(V,E)是一个有限无向的简单连通图。图上的每一个顶点可以看作细胞自动机上的一个细胞单元,细胞单元上状态的值或者是0或者是1。如果每一个细胞单元的状态都被赋予了一个值,则所有细胞单元状态值的集合被称为细胞自动机上的一个配制。自动机的演化由局部传递规则决定。如果X是时刻t的一个配制,Y是局部传递规则作用在X后于时刻t+1的配制,那么Y称为X的后继,X被称为Y的前驱。在配制进化领域里的一个基本问题就是研究对于一个给定的目标配制确定它的前驱是否存在的问题。这个问题被称作前驱存在问题。更进一步,如果给定一个界β,寻找基数最多为β的前驱配制问题被称为界定前驱存在问题。给定一个有趣的目标配制1,即目标配制是每一个细胞单元的状态值都为1,我们将以基于局部规则σ~+及σ下的图上的细胞自动机作为对象展开研究。 对于σ~+规则,当初始配制为0,目标配制为1时,相应的前驱存在问题也被称为σ~+全一问题或者直接称为全一问题[27]。Peled提出了一个等价的问题被称为点灯问题[22]。类似的,对于σ规则,当初始配制为0,目标配制为1时,相应的前驱存在问题被称为σ全一问题。为方便起见,目标配置的前驱也被称为解。 近年来全一问题已经被广泛的研究,见Sutner[29,31],Barua和Ramakrishnan[2]以及Dodis和Winkler[11]。全一问题解的存在性问题已经被完全解决。用线形代数的方法,Sutner[28]证明了全一问题的解总是存在的,并给出了n×n的格子图上解的一些计数结果。Sutner曾提问是否可用图论的方法证明解的存在性问题[28]。Erikisson et al.[13]给出了解存在性的图论证明。进而,Chen et al.[6]给出了一个精巧的图论算法用来找到一般图上的解。如果我们也要求前驱配制中非零状态的细胞单元个数最少,相应的问题被简称为最小全一问题。这个问题已经被证明对于任意图是NP-完全问题[25]。最近,Broersma和Li又证明了对于二部图这个问题也是NP-完全的[3]。全一问题也可以被称为点点问
【学位授予单位】:南开大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2006
【分类号】:O19

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