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《南开大学》 2009年
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分拆恒等式的组合证明

高永  
【摘要】:本文主要研究分拆恒等式的组合证明方法:著名的Euler分拆定理的一一映射证明和Lebesgue恒等式的对合证明。此外我们还利用标号分拆的概念得到了关于染色排列的统计量的一些结果。 全文共分为四章。在第一章中,我们介绍分拆的概念以及本文中用到的定义和记号。同时,我们还将介绍处理分拆的两种方法:分拆的图像表示和分拆的生成函数。 在第二章中,我们介绍Euler分拆定理。Euler分拆定理是分拆理论的基石。它由Euler在1748年给出。在1882年,Sylvester给出了Euler分拆定理的一个经典的组合证明及其Sylvester限制。Fine也给出了Euler分拆定理的两个Fine限制。Glaisher也曾研究过Euler分拆定理,并得到了关于Euler分拆定理的Glaisher限制。随后,还有关于Euler分拆定理的Bousquet-M610u-Eriksson限制。此外,Bessenrodt和曾江分别对Sylvester映射进行了比较详尽的总结,其中曾江还给出了三变量限制的Euler分拆定理的一个生成函数的证明。通过对Bessenrodt插入算法进行构造性的变形,我们可以得到一个关于Euler分拆定理的包含Glaisher限制和Bousquet-M610u-Eriksson限制的两个变量的限制。 在第三章中,我们介绍了Lebesgue恒等式。Lebesgue恒等式可由Euler公式、Heine变换得到。同时它也是q-Kummer求和公式的一个特例。Alladi和Gordon给出了Lebesgue恒等式的一一映射证明。此后,Bessenrodt利用Sylvester映射也得到了Lebesgue恒等式的等价形式的一一映射证明。最近,基于Zeilberger的插入算法,付梅也给出了Lebesgue恒等式的一个组合证明。我们通过对Vahlen对合进行推广,得到一个新的关于Lebesgue恒等式的对合证明。 在第四章中,我们将分拆理论应用到染色排列的统计量的计数中去。通过引入标号分拆的概念,我们得到了fmaj七的生成函数;通过推广陈永川等关于普通排列的组合方法,我们还得到了染色排列的q-错排数。此外,通过标号分拆我们又给出了关于ma-jor指标的Gessel-Simon公式和Adin-Gessel-Roichman公式的对合证明。 最后,我们在附录中给出了Euler公式和Heine变换的证明。
【学位授予单位】:南开大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O157

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1 高永;分拆恒等式的组合证明[D];南开大学;2009年
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