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组合变换在等式、多项式及简单图中的应用

庞兴梅  
【摘要】: 利用组合方法给出某些数学问题简洁直观的证明是组合数学研究的热点课题。其本质就是构造组合结构,寻找适当的组合变换。在本文中,一方面,我们将这种方法应用于两个等式,即Simons等式和Munarini等式,给出了这两个等式的组合解释。进一步地,在Munarini等式的证明过程中涉及的组合技巧也可用于证明Boros-Moll多项式系数的正性。另一方面,作为组合变换的另一个应用,本文证明了一类简单图中交叉数和嵌套数是对称联合分布的。 Simons等式是Simons通过重复求导得到的一个关于二项式系数的等式。对该等式的证明包括Chapman给出的生成函数法,Prodinger给出的柯西积分公式法以及Wang和Sun给出的算子法。Hirschhorn指出Simons等式实际上是定义在超几何级数_2F_1上的Pfaff等式的一种特殊情况。而对于Pfaff等式的组合证明,Labelle和Yeh在他们的文章中已经给出。本文通过构造两种赋权组合结构上的组合变换,即赋权自由Dyck路和赋权自由Schr(o|¨)der路上的组合变换,给出了Simons等式另一种更加形象直观的组合解释。 依照Prodinger的方法,Munarini得到了Simons等式的一般化形式,称之为Munarini等式,该等式同时也是Pfaff等式的一般化形式。对Munarini等式的某些特殊情况,Shattuck给出了基本的双射证明。应用Labelle和Yeh在证明Pfaff等式过程中的技巧,我们给出了Munarini等式的组合解释。 本文还给出了Boros-Moll多项式系数正性的组合证明。Boros-Moll多项式是在求一个四次积分的过程中产生的,它与一类特殊的Jacobi多项式密切相关。Amdeberhan和Moll给出了有关该多项式表达式多种不同的证明。Boros和Moll曾经给出该多项式系数正性的证明,但他们的证明是借助Ramanujan基本定理实现的。此外,Boros-Moll多项式系数序列还有其它组合性质,如单峰性和对数凹性。利用组合方法来诠释这些性质已成为组合学中一个有趣的研究方向。 研究一类简单图中交叉数和嵌套数的对称联合分布问题是该论文中组合变换的另一个应用。1983年,De Sainte-Catherine证明了在集合[2n]的所有匹配中,2-交叉和2-嵌套是等分布的。之后,Klazar推广了该结论,证明了含有r个2-交叉、s个2-嵌套的匹配的个数等于含有r个2-嵌套、s个2-交叉的匹配的个数。近来,关于图中交叉和嵌套的对称联合分布问题又重新引起了广大学者的研究兴趣。2007年,以RSK算法为基础,Chen等证明了在集合[n]的所有划分或集合[2n]的所有匹配中,交叉数和嵌套数是对称联合分布的。同时,通过考虑Ferrers图表的填充方式,Krattenthaler也证明了这一结论。本文通过构造一种新的算法,即改进的RSK算法,推广了该结论。 在本篇论文中,我们主要讨论组合变换在两类问题中的应用。其中之一是给出Simons等式、Munarini等式以及Boros-Moll多项式系数正性的组合解释。另一个是证明在每个点左度都不超过1的简单图中,交叉数和嵌套数是对称联合分布的。我们主要得到了以下两个方面的结果。 本文的第二章论述了我们的第一个结果,也就是组合地解释了Simons等式、Munarini等式以及Boros-Moll多项式系数的正性。对于Simons等式,其组合变换是以自由Dyck路、自由Schr(o|¨)der路以及在赋权自由Schr(o|¨)der路上的一个对合为基础的。而对于Munarini等式和Boros-Moll多项式系数的正性,其组合变换是以Foata和Labelle给出的一个关于Meixner endofunctions和双色排列的对应,以及Labelle和Yeh用于证明Pfaff等式的方法为基础的。 本文的第三、四章阐述了我们的第二个主要结论。在第三章中,我们给出了一个改进的RSK算法。利用此算法,我们构造了某个有序集合上的字w与存在限制条件的有序杨表对(P(w),Q(w))之间的一个一一对应。此外,在本章中我们还证明了以下结论:w的最长递增子序列的长度等于P(w)的列数;w的最长递减子序列的长度等于P(w)的行数。 以第三章中改进的RSK算法为基础,在第四章中,我们主要证明了在每个点左度都不超过1的简单图中,交叉数和嵌套数是对称联合分布的。这个问题足通过构造每个点左度都不超过1的简单图和空型的有效徘徊杨表之间的双射得以解决的。事实上,对于每个点左度都不超过1的简单图构成的图类,如果固定左端点和右端点集合,我们的结论仍然成立。


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