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《天津大学》 2007年
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基于径向基函数的无网格数值方法及杂交Trefftz有限元法

王辉  
【摘要】: 作为一种新型的数值计算方法,无网格法仅仅需要在域内分布一些相互独立的点,而不是相互连接的单元,所以可以减少大量的数据准备,避免了普通有限元法和边界元法在计算中需要的网格生成或重生成,以及在大变形(如金属成型,高速碰撞等)计算中可能遇到的单元自锁、扭曲、畸变、移动等问题。本文基于经典的基本解方法,结合径向基函数近似和相似方程方法,提出了一种混合型无网格算法。基本解法是一种边界型方法;利用基本解的定义,未知的场变量可以近似表示为基本解的线性组合;这种方法的特点是近似解在域内解析满足控制微分方程,所以仅仅需要满足相应的边界条件即可。然而,对于那些含有域内分布源或体力项的非齐次问题和基本解难于获得的问题,普通的基本解方法难于发挥自己的优势。针对这些局限性,相似方程方法被首先用来把原控制方程转换为等效的方程,然后径向基函数插值和基本解方法被分别用来构造特解和齐次解部分;最后,通过使获得的近似场变量在配点处满足原控制微分方程和边界条件可以解得所有的未知插值系数。大量的计算结果显示该算法理论基础简单,易于程序实现,具有较好的计算精度和收敛性;同时,从算法的实现过程可以看到,该算法可以很容易的应用于其它问题的计算。 基于类似的思想,文章针对普通Trefftz有限元法的不足,即难于处理非齐次问题和对Trefftz完备解系的依赖性问题,结合径向基函数近似和相似方程方法,提出了一种改进的Trefftz有限元法。相似方程方法首先被用来构造和原控制微分方程等效的方程,然后径向基函数插值和Trefftz有限元法被分别用来构造对应的特解和齐次解部分;最后,使获得的近似场解在配点处满足原控制方程可以解得所有的未知插值系数。非线性最小表面问题的计算结果表明该算法有不错的计算精度和收敛性,同时又保留了普通Trefftz有限元法的积分优势,而且可以方便地用于其它问题求解。 此外,由于径向基函数一般可以看作基本解消奇异性后的扩展,所以文章也对径向基函数的构造和光滑化方案进行了研究。计算结果显示,基于特征精心构造的径向基函数完全可以代替目前广泛使用的径向基函数;而且,不同的光滑化方案会影响计算精度和稳定性,需要谨慎选择。
【学位授予单位】:天津大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O241.82

【共引文献】
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