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时域有限差分法中完全匹配层的实现算法研究

李建雄  
【摘要】: 自1966年K. S. Yee提出时域有限差分法(FDTD)以来,FDTD方法中的重要组成部分—吸收边界条件的研究就一直是研究热点。目前,效果最好的吸收边界条件是完全匹配层(PML)。完全匹配层是数学上在FDTD区域截断边界处虚拟设置一种特殊介质层,通过合理地选择PML的本构参数,能够使FDTD计算域的外行电磁波无反射地穿过分界面而进入PML层,并且无反射条件与外行电磁波的入射角、极化和频率都无关;由于PML层为有耗介质,进入PML层的透射波将迅速衰减。迄今为止,有三种完全匹配层方案:(1)Berenger的分裂场完全匹配层。(2)拉伸坐标完全匹配层(SC-PML)。(3)各向异性完全匹配层(APML或者UPML)。后来,为了吸收低频隐失波,提出了复频率偏移完全匹配层(CFS-PML)。本文的主要内容是研究各种PML公式的非分裂场形式实现方法。针对已有的PML算法中存在的缺点,提出了一些新颖并且有效的PML算法,并且对所提出的PML新算法进行了数值算例验证。 本文的主要研究内容及创新点如下: 1.基于SC-PML公式,利用在时域离散微分方程的方法和Z变换方法(包括双线性变换(Bilinear Transform)和零极点匹配Z变换(Matched Z-Transform)),提出了三种以非分裂场方式实现PML的新算法。它们的创新点是在三维PML的角和一些棱上每个元胞每个场分量的更新仅需要一个辅助变量。然而,在此之前所有的SC-PML实现方法在这些PML区域上都需要两个辅助变量。所以,三种SC-PML新算法具有节约内存的优点。特别地,三种SC-PML新算法在二维和一维情况下更简单和有效。这是因为在二维情况下两个横向场分量(例如,在TMz模式下的H_x和H_y两个场分量)的更新方程不需要辅助变量,而在一维情况下两个场分量的更新方程都不需要辅助变量,从而既节约内存又节约计算时间。 2.基于APML公式,利用Z变换方法(包括双线性变换和零极点匹配Z变换)提出了两种实现PML的新算法。与Ramadan利用Z变换方法实现APML的算法相比,本文提出的APML新算法需要的辅助变量和计算步骤少,从而节约了内存和计算时间。 3.基于带有CFS因子的SC-PML公式,分别利用辅助微分方程(ADE)方法和零极点匹配Z变换方法提出了两种实现CFS-PML的新算法。由于避免了卷积完全匹配层(CPML)所使用的卷积计算,所以两种新算法推导过程更简单,更容易理解。 4.基于带有CFS因子的APML公式,分别利用零极点匹配Z变换和双线性变换方法提出了4种实现CFS-PML的新算法。 5.利用由Sullivan所引入的Z变换方法提出了一种新的非线性FDTD公式,并结合SC-PML新算法给出了完整的更新方程组。 6.提出了一种针对高阶差分方程的最小化内存新算法。


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