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对流扩散方程的一种新型紧致差分方法

曹广满  
【摘要】: 对流扩散方程是流体力学的基本方程之一.现阶段对于该类方程大部分难以求得精确解,因此数值解法的研究成为人们关注的焦点.常见的数值方法有:有限差分法,有限体积法和有限单元法.其中有限差分法以其构造差分格式简单,计算方便等优点应用更为广泛.有限差分法又涉及到网格剖分,解的边界层处理及精度等重点问题. 本文给出了一类对流扩散方程的非等距紧致差分格式,该方法以某一网格节点为中心,通过对其临点泰勒展开,但与传统的有限差分法不同的是,泰勒展开式不是截取有限项,而是取无穷多项(但这些项构成收敛级数),从而得到一类非等距差分格式.在步长一致的情况下,相应的得到其等距差分格式.格式的构造过程中力图使得最后的差分格式具有更好的计算精度. 本文在第一节首先简单介绍了问题的来源,对流扩散方程的背景以及最近几年处理对流扩散方程所取得的成就及进展. 在第二节第一部分通过一维对流扩散方程的等价问题,详细推导了处理该问题的等距差分格式,并给出了该格式的截断误差及收敛性分析.本节第二部分针对一维扩散方程,从方程本身出发构造了非等距差分格式,并给出了几种常用的非等距网格处理方法.第三部分通过相应的数值实验,表明本文格式具有较好的计算效果,与第一节中的分析结果相吻合. 第三节将一维二阶基本格式的构造思路应用到二维情形,得到一种二阶五点差分格式,并将其与五点中心差分格式进行了比较.数值算例揭示出本格式也有较好的计算效果.


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